«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 9 Νοεμβρίου 2018

Μολυβιές και στατιστική


«Είναι κεφαλαιώδες λάθος να σχηματίζεις θεωρίες προτού να έχεις όλα τα δεδομένα. Επηρεάζει την κρίση σου.»


                                                  Σπουδή στο κόκκινο,Σερ Άρθουρ Κοναν Ντοιλ
 
 Τον 19ο αιώνα  έλαβε χώρα μια δίκη πλαστογραφίας η οποία  βρέθηκε στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος για το λόγο ότι η  έκβαση της στηρίχτηκε αποκλειστικά στις καταθέσεις-κλειδιά δυο μαθηματικών- ενός πατέρα και του γιου του.Ο Benjamin  Pierce ήταν ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής του, διάσημος καθηγητής στο Χάρβαρντ, προς τιμή του υπάρχει  έδρα με το όνομα του στο Χάρβαρντ.Ο γιος του Charles Sanders Pierce,υπήρξε επίσης  μαθηματικός ανάλογου βεληνεκούς που δίδασκε μαθηματική λογική.Οι Pierce,γιος και πατέρας βρέθηκαν στο δικαστήριο σαν εμπειρογνώμονες και αποκάλυψαν χρησιμοποιώντας θεωρία πιθανοτήτων μιαπλαστογραφία όταν οι γραφολόγοι της εποχής δεν μπορούσαν να αποφανθούν.

  Η πλαστογραφία αφορούσε μια διαθήκη, την διαθήκη μιας  ευκατάστατης υπερήλικης  της Σίλβα Ανν Χαουλαντ.Το επίθετο «ευκατάστατη» αδυνατεί να περιγράψει την περιουσία μια κύριας όταν ανέρχεται στο ποσό των δυο εκατομμυρίων δολαρίων.Η ανιψιά της Χετι Χαουλαντ Ρομπινσον προσέβαλλε την διαθήκη με την οποία της κληροδοτούσε μόνο  ένα μέρος αυτής της τεράστιας περιουσίας με τον ισχυρισμό ,ότι αυτή και η θεια της είχαν συμφωνήσει προφορικά ,να κληρονομήσει η Ρομπινσον όλη την  περιουσία. Για να αποδείξει τον ισχυρισμό της παρουσίασε στο δικαστήριο μια προηγούμενη διαθήκη της θειας της που όχι μόνο της άφηνε όλη την περιουσία αλλά  περιείχε και δεύτερη σελίδα στην οποία αναφερόταν ότι οποιαδήποτε μεταγενέστερη διαθήκη είναι άκυρη.Ο εκτελεστής της διαθήκης Τόμας Μάντελ, απέρριψε τον ισχυρισμό της Ρομπινσον αναφέροντας ότι η δεύτερη σελίδα ήταν πλαστογραφημένη,άρα η τύχη της περιουσίας  έπρεπε να καθοριστεί από μεταγενέστερη διαθήκη.

  Ποιος δικαιώθηκε; Στις περισσότερες υποθέσεις πλαστογραφίας,κάποιος επιχειρεί  να αντιγράψει την υπογραφή ή τον γραφικό χαρακτήρα ενός άτομου Α και οι κατήγοροι προσπαθούν να δείξουν στο δικαστήριο την διαφορά των πλαστογραφημένων εγγράφων, παρουσιάζοντας δείγματα γραφής του αυθεντικού γραφικού χαρακτήρα του Α . Όμως στην συγκεκριμένη υπόθεση της διαθήκης της Χαουλαντ τα πράγματα άλλαξαν,η πλαστογραφία ήταν πάρα πολύ καλή.

    Οι δυο μαθηματικοί,ο Benjamin pierce και ο γιος του κλήθηκαν να καταθέσουν σχετικά με την  επιστημονική διερεύνηση της ομοιότητας μεταξύ της αυθεντικής υπογραφής στην πρώτη σελίδα και της επίμαχης υπογραφής στην δεύτερη.

   Οι Pierce παρατήρησαν ότι οι δυο υπόγραφες ήταν πανομοιότυπες ,η μία πιστό αντίγραφο της άλλης ,συνήθως όμως οι υπόγραφες από το ίδιο άτομο παρουσιάζουν μικρές  ανεπαίσθητες διαφορές, αναρωτήθηκαν λοιπόν, πόσο πιθανό  είναι οι δυο υπογραφές να είναι καθ ‘όλα ίδιες.Έπρεπε  όμως  την υποψία αυτή να την τεκμηριώσουν επιστημονικά.  Δείτε τι έκαναν. Ποσοτικοποίησαν την σύγκριση.Αντιπαρέβαλλαν τις δυο υπογραφές και για να μπορούν να μετρήσουν τον αριθμό των «συμπτώσεων» των δυο  υπογραφών αποφάσισαν να χρησιμοποιήσουν τις μολυβιές με φορά από πάνω προς τα κάτω-υπήρχαν τριάντα σε κάθε  υπογραφή-όταν λοιπόν αντιπαρέβαλλαν τις δυο υπόγραφες  μετρούσαν πόσες από αυτές τις μολυβιές ήταν ακριβώς ίδιες.



Τις μελέτησαν προσεκτικά και τι διαπίστωσαν ότι και οι τριάντα συνέπιπταν.Πόσο πιθανό ήταν αυτό;

  Πως το χειρίστηκαν οι Pierce; Συγκέντρωσαν 42 αυθεντικές  υπογραφές της Σιλβια από  παλαιοτέρα έγγραφα της Αν Χάουλαντ και έλεγξαν κάθε πιθανό ζεύγος.Το σύνολο όλων των πιθανών  διαφορετικών ζευγών υπογραφών ήταν  (42*41)/2=861.Για καθένα από όλα αυτά τα ζεύγη προσδιόρισαν τον αριθμό των συμπτώσεων (πόσες από τις μολυβιές με φορά από πάνω προς τα κάτω συνέπιπταν). Βρήκαν συνολικά 5235 συμπτώσεις,ανάμεσα στις συνολικά 861*30=25.830 συγκρίσεις.Αυτό σήμαινε ότι μια στις πέντε συγκρίσεις οδηγούσε σε ταύτιση.

   Σκέφτηκαν λοιπόν ότι η πιθανότητα να συμπίπτουν σε ένα ζεύγος υπογράφων δυο μολυβιές με φορά από πάνω προς τα κάτω είναι 5325/25830=0.206165.Θεωρώντας ότι αυτές οι συμπτώσεις είναι ανεξάρτητες ο  Pierce χρησιμοποίησε την πολλαπλασιαστική αρχή και υπολόγισε:

                          0.206165*0.206165*…… * 0.206165=0.20616530

Δηλαδή η πιθανότητα 30 συμπτώσεων στις δυο υπόγραφες ενός προσώπου είναι περίπου 1 στα 375 τρισεκατομμύρια.

 Με  το κύρoς που διέθετε ,ο Pierce o πρεσβύτερος ενώπιων των ένορκων κατέθεσε  ότι το να συμβεί κάτι τέτοια είναι κυριολεκτικά αδύνατο, έπεισε τους ενόρκους  και η Ρόμπινσον καταδικάστηκε για πλαστογραφία.Τώρα το γεγονός  ότι υπέθεσαν οι Pierce ότι οι συμπτώσεις είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα αυτό δεν θα έπειθε ένα σύγχρονο στατιστικολόγο.Η ουσία όμως της αιτιολόγησης παραμένει ισχυρή και ικανή να καταδείξει την ενοχή της Ρόμπινσον για πλαστογραφία. 






Περαιτέρω πληροφορίες

-Devlin, Lorden  “Numbers”
-https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/charles-peirce_4.pdf 


Η μολυβιά :)


                      

2 σχόλια:

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...