Πυθαγόρειο θεώρημα,γοριλλάκια και η απόδειξη του πτυσσόμενου σάκου

Το πυθαγόρειο θεώρημα διατυπώνεται ως εξής:

 Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το εμβαδό του τετραγώνου που έχει πλευρά την υποτείνουσα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές  τις κάθετες πλευρές.   

 Το θεώρημα ισχύει να αντικαταστήσουμε τα τετράγωνα στις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου με τυχαία σχήματα–πολύγωνα ή άλλα σχήματα-με τον περιορισμό να είναι όμοια μεταξύ τους.Δείτε τα παρακάτω σχήματα που έχουν χρησιμοποιηθεί κανονικά πεντάγωνα,ημικύκλια με τις πλευρές ως διαμέτρους τους,ισόπλευρα τρίγωνα ακόμα και ισεμβαδικά γοριλλάκια

Στο ακόλουθο βίντεο του εξαιρετικού  διαδικτυακού μαθηματικού καναλιού Numberphile ο μαθηματικός Barry Mazur  περιγράφει  το πυθαγόρειο και την ομοιότητα με ένα…παραμύθι.

                               

Η απόδειξη του πτυσσόμενου σάκου

   Το πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει όχι μόνο για τα τετράγωνα που κατασκευάζονται επί των τριών πλευρών αλλά για οποιαδήποτε σχήματα (καλή ώρα τα γοριλλάκια) εφόσον είναι όμοια.Συγκριμένα μπορούμε να επιλέξουμε ένα τυχαίο πολύγωνο ως το αντιπροσωπευτικό μας σχήμα.Εφόσον ο λόγος των εμβαδών ομοίων πολυγώνων  είναι ίσος  με το λόγο των τετραγώνων των αντιστοίχων πλευρών τους,αρκεί να αποδείξουμε το θεώρημα για το συγκεκριμένο πολύγωνο.

  Όταν λέμε «κατασκευάζονται επί» συνήθως εννοείται ότι τα τετράγωνα (ή οποιαδήποτε σχήματα επιλέγουμε) πρέπει να κατασκευαστούν έξω από το ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό όμως δεν επιβάλλεται από πουθενά! Στην πραγματικότητα είμαστε ελεύθεροι να κατασκευάσουμε οποιοδήποτε από τα τρία σχήματα(ή και τα τρία) στο εσωτερικό του δεδομένου τρίγωνου.

 Και τώρα η απόδειξη.Ποιο πολύγωνο θα χρησιμοποιήσουμε;Η απλούστερη επιλογή είναι το τρίγωνο.Πιο συγκεκριμένα,γιατί όχι το δεδομένο τρίγωνο;Για το τρίγωνο που φαίνεται στο σχήμα δείξαμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΒ,ΑΔΓ,ΓΔΒ είναι όμοια. Και εφόσον το πρώτο συνίσταται από τα δυο τελευταία, θα έχουμε:

                         Εμβαδό (ΑΓΒ)= Εμβαδό (ΑΔΓ)+ Εμβαδό (ΓΔΒ) 

Αυτή ακριβώς είναι η γενικευμένη μορφή του πυθαγόρειου θεωρήματος όπως δηλωνεται στην προταση VI 31 των Στοιχείων.

 Η συγκεκριμένη απόδειξη  εμφανίζεται στο βιβλίο του Loomis (http://mathhmagic.blogspot.com/2016/04/blog-post_23.html) ως απόδειξη υπ’αριθμόν 230,προτεινόμενη στις 4 Ιούνιου 1934 από  ένα δεκαεννιάχρονο,από το Οχάιο των Η.Π.Α,τον Stanley Jashemski.Ο Loomis σημειώνει ότι επρόκειτο για ένα νεαρό ανώτερης διανοίας.

 

 bonus

                                           Το προς την υποτείνουσαν

                                          τετράγωνον και μόνον

                                          Ισούται προς το άθροισμα

                                          των δυο τετραγώνων

                                         Όπερ αι δυο καθέτοι

                                         Ομού αποτελούσι

                                         Και τούτο Πυθαγορείον

                                         Θεώρημα καλούσι.

Μνημονικό οκτάστιχο του προηγούμενου αιώνα για το διασημότερο θεώρημα