Ο Λεκές

 Προβληματάκι από Kαναδικό μαθηματικό διαγωνισμό.

  Σε ένα κομμάτι ύφασμα χύθηκε σάλτσα και έγινε λεκές. Θεωρούμε τον λεκέ ως επίπεδο σχήμα. Μετρήσαμε για κάθε σημείο του λεκέ, την μικρότερη και την μεγαλύτερη απόσταση του σημείου από το σύνορο του λεκέ. Έστω  ρ η μεγαλύτερη από τις μικρότερες αποστάσεις και Ρ η μικρότερη από της μεγαλύτερες.

Ποια είναι η μορφή (γεωμετρικά) του λεκέ αν ρ= Ρ;

Μια λύση

  Στο σχήμα, ο λεκές (κόκκινο χρώμα) αποτελείται από την κλειστή γραμμή η γραμμή-το σύνορο- είναι καμπύλη. Έστω Α το σημείο του λεκέ  του όποιου η μικρότερη απόσταση από το σύνορο ισούται με ρ. Τότε, ο λεκές  περιέχει ένα κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα ρ, διότι όλα τα σημεία του ορίου του λεκέ βρίσκονται έξω από τον κύκλο. Ομοίως αν Β είναι το σημείο του λεκέ του οποίου η μεγαλύτερη απόσταση από το  σύνορο ισούται με  Ρ, τότε ο κύκλος με κέντρο Β και ακτίνα Ρ περιέχει το σύνορο ,και συνεπώς, ολόκληρο το λεκέ. Αφού ο κύκλος (Β ,Ρ) περιέχει τον λεκέ  και ο λεκές με την σειρά του περιέχει τον κύκλο (Α, ρ) και ταυτόχρονα ρ= Ρ οι δυο κύκλοι πρέπει να συμπίπτουν. Άρα ο λεκές είναι κύκλος με ακτίνα ρ= Ρ.