«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέεςόχι.» G.Hardy
Πέμπτη 24 Οκτωβρίου 2019
Σκακιέρα
Ο Carlo De Grandi δίνει μια λύση στους συνδέσμους με την αναφορά όλων των δυνατών διατάξεων των 8 πιονιων στην σκακιέρα ,συνδέοντας το με το πρόβλημα των 8 βασιλισσών
Αριθμούμε τις γραμμές της σκακιέρας από γ1 έως γ8 από πάνω προς τα κάτω και τις στήλες από σ1 έως σ8 από αριστερά προς τα δεξιά. Θυμόμαστε ότι το τετράγωνο της πάνω αριστερά γωνίας (γ1-σ1) είναι λευκό. Τοποθετούμε τον αριθμό 1 σε κάθε τετράγωνο οποιουδήποτε χρώματος όπου υπάρχει πιόνι και τον αριθμό 0 σε κάθε τετράγωνο όπου δεν υπάρχει. Αθροίζουμε όλους τους αριθμούς που έχουν τοποθετηθεί στα τετράγωνα των γραμμών γ1,γ3,γ5,γ7 και όλους τους αριθμούς που έχουν τοποθετηθεί στα τετράγωνα των στηλών σ1,σ3,σ5,σ7. Το άθροισμα των δύο αυτών αθροισμάτων προφανώς είναι 4+4=8. Οι συγκεκριμένες γραμμές ή στήλες όμως περιέχουν από μία ακριβώς φορά κάθε μαύρο τετράγωνο της σκακιέρας και από καμία ή δύο φορές κάθε λευκό τετράγωνο. Αυτό συνεπάγεται ότι κάθε λευκό τετράγωνο συνεισφέρει 0 ή 2 στο άθροισμα 8 και κάθε μαύρο τετράγωνο 0 ή 1. Κατά συνέπεια, η συνεισφορά των λευκών τετραγώνων στο άθροισμα 8 είναι άρτιος αριθμός, άρα και η συνεισφορά των μαύρων τετραγώνων είναι 8-άρτιος=άρτιος επίσης. Αλλά κάθε μαύρο τετράγωνο συνεισφέρει 0 ή 1 στο άθροισμα, επομένως τα μαύρα τετράγωνα όπου έχει τοποθετηθεί ο αριθμός 1, δηλαδή υπάρχει πιόνι, είναι υποχρεωτικά άρτιου αριθμού.
Θανάση Καλημέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤη λύση του προβλήματος στη στέλνω με e-mail, διότι έχει σχήματα, για να την αναρτήσεις.
Φιλικά,
Carlo
Θα την ανεβάσω Carlo μέχρι το Σάββατο
ΔιαγραφήΑριθμούμε τις γραμμές της σκακιέρας από γ1 έως γ8 από πάνω προς τα κάτω και τις στήλες από σ1 έως σ8 από αριστερά προς τα δεξιά. Θυμόμαστε ότι το τετράγωνο της πάνω αριστερά γωνίας (γ1-σ1) είναι λευκό. Τοποθετούμε τον αριθμό 1 σε κάθε τετράγωνο οποιουδήποτε χρώματος όπου υπάρχει πιόνι και τον αριθμό 0 σε κάθε τετράγωνο όπου δεν υπάρχει. Αθροίζουμε όλους τους αριθμούς που έχουν τοποθετηθεί στα τετράγωνα των γραμμών γ1,γ3,γ5,γ7 και όλους τους αριθμούς που έχουν τοποθετηθεί στα τετράγωνα των στηλών σ1,σ3,σ5,σ7. Το άθροισμα των δύο αυτών αθροισμάτων προφανώς είναι 4+4=8. Οι συγκεκριμένες γραμμές ή στήλες όμως περιέχουν από μία ακριβώς φορά κάθε μαύρο τετράγωνο της σκακιέρας και από καμία ή δύο φορές κάθε λευκό τετράγωνο. Αυτό συνεπάγεται ότι κάθε λευκό τετράγωνο συνεισφέρει 0 ή 2 στο άθροισμα 8 και κάθε μαύρο τετράγωνο 0 ή 1. Κατά συνέπεια, η συνεισφορά των λευκών τετραγώνων στο άθροισμα 8 είναι άρτιος αριθμός, άρα και η συνεισφορά των μαύρων τετραγώνων είναι 8-άρτιος=άρτιος επίσης. Αλλά κάθε μαύρο τετράγωνο συνεισφέρει 0 ή 1 στο άθροισμα, επομένως τα μαύρα τετράγωνα όπου έχει τοποθετηθεί ο αριθμός 1, δηλαδή υπάρχει πιόνι, είναι υποχρεωτικά άρτιου αριθμού.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι,Θαναση απο Κινέζικο μαθηματικό διαγωνισμό
Διαγραφήhttps://imgur.com/STdiEyx
Διαγραφή