Αν υπολόγισα σωστά ο μικρότερος δυνατός αριθμός τρεχόντων μελών της λέσχης είναι 64.Τα αγόρια θα είναι περισσότερο από 39% των μελών και το πλήθος των κοριτσιών 39. Αν μείνουν 38 κορίτσια,τα αγόρια εξακολουθούν να είναι λιγότερα από το 40% των μελών.Αν στην θέση του κοριτσιού που έφυγε,εγγραφεί ένα νέο αγόρι όμως, τότε το ποσοστό τους αυξάνεται κατά 1,5625% σε σχέση με αυτό που είχαν πριν φύγει το κορίτσι από την λέσχη.Αν δεν έφευγε κανένα κορίτσι από την λέσχη αλλά μόνον εγγράφονταν ένα νέο αγόρι, τότε το πλήθος των κοριτσιών θα ήταν 39 και το ποσοστό των αγοριών ακριβώς 40%!
Έπαιξα μερικά παιχνίδια τάβλι.Ο συνολικός αριθμός παιχνιδιών που έπαιξα είναι τέλειο τετράγωνο. Τέλεια τετράγωνα είναι επίσης και οι αριθμοί των παιχνιδιών που έχασα και κέρδισα.Τα ποσοστά επί τοις εκατό των χαμένων αλλά και των κερδισμένων παιχνιδιών είναι κι αυτά τέλεια τετράγωνα.Το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο είναι το ποσοστό των παιχνιδιών που κέρδισα. Πόσα παιχνίδια έπαιξα?
Έπαιξα συνολικά 25 παιχνίδια. Έστω ότι: • Σύνολο παιχνιδιών: N=α^2 (1) • Κερδισμένα: Κ=β^2 (2) • Χαμένα: Χ=γ^2 (3) Οπότε έχουμε: Ν=Κ+Χ === α^2=β^+γ^2 (4) Ποσοστά Το ποσοστό των κερδισμένων είναι: 100*(β^2/α^2)=κ^2 (5) Το ποσοστό των χαμένων είναι 100*(γ^2/α^2)=ν^2 (6) όπου και τα δύο είναι τέλεια τετράγωνα, και το μεγαλύτερο είναι το ποσοστό των κερδισμένων. Επειδή τα ποσοστά αθριζόμενα δίνουν αποτέλεσμα 100 έχουμε την εξίσωση: κ^2+ν^2=100 (7) Η μοναδική μη τετριμμένη λύση με τέλεια τετράγωνα είναι: 8^2+6^2=64+36=100 Άρα: • Κέρδισα το 64% • Έχασα το 36% Εύρεση των αριθμών Από τη (5) έχουμε: 100*(β^2/α^2)=κ^2 === 100*(β^2/α^2)=8^2 === 100*(β^2/α^2)=64 === β^2/α^2=64/100 === β/α=4/5 (8) Οπότε έχουμε για κάποιο ακέραιο μ: β=4μ και α=5μ Από τη (4) λαμβάνουμε: α^2=β^+γ^2 === γ^2=α^2-β^2 === γ^2=5^2μ^2-4^2μ^2 === γ^2=25μ^-16μ^2 === γ^2=9μ^2 Υψώνουμε στη τετραγωνική ρίζα και τα δύο μέλη κι’ έχουμε: γ^2=9μ^2 === sqrt[g^2]=sqrt[9m^2] ===γ=3μ (9) Όλοι οι αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα: • Σύνολο παιχνιδιών: Ν=α^2μ^2=5^2μ^2=25μ^2 • Κερδισμένα παιγνίδια: Κ=β^2μ^2=4^2μ^2=16μ^2 • Χαμένα παιγνίδια: Χ=γ^2μ^2=9μ^2 Για το μικρότερο δυνατό πλήθος παιχνιδιών παίρνουμε μ=1 • Σύνολο παιχνιδιών: Ν=25μ^2 === Ν=25*1^2=25*1=25 • Κερδισμένα παιγνίδια: Κ=16μ^2 === Κ=16*1^2=16*1=16 • Χαμένα παιγνίδια: Χ=9μ^2 =9*1^2=9*1=9
Ο μικρότερος δυνατός αριθμός τρεχόντων μελών της λέσχης είναι 64 Έστω ότι η λέσχη έχει συνολικά N μέλη, από τα οποία Α είναι αγόρια. Δίνονται οι συνθήκες: 1. 39%<B/N<40% 2. Αν φύγει ένα κορίτσι: Α/(N−1)<40% 3. Αν εγγραφεί ένα αγόρι: Α+1/N+1≥40% 4. Δοκιμάζοντας τις μικρότερες δυνατές ακέραιες λύσεις που ικανοποιούν όλα τα παραπάνω, βρίσκουμε: • N=64 συνολικά μέλη • Α=25 αγόρια (και 39 κορίτσια) Έλεγχος: • 25/64 ≈39,06% • Αν φύγει ένα κορίτσι: 25/63≈39,68%<40% • Αν προστεθεί ένα αγόρι: 26/65=40%
.png)
Αν υπολόγισα σωστά ο μικρότερος δυνατός αριθμός τρεχόντων μελών της λέσχης είναι 64.Τα αγόρια θα είναι περισσότερο από 39% των μελών και το πλήθος των κοριτσιών 39.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν μείνουν 38 κορίτσια,τα αγόρια εξακολουθούν να είναι λιγότερα από το 40% των μελών.Αν στην θέση του κοριτσιού που έφυγε,εγγραφεί ένα νέο αγόρι όμως, τότε το ποσοστό τους αυξάνεται κατά 1,5625% σε σχέση με αυτό που είχαν πριν φύγει το κορίτσι από την λέσχη.Αν δεν έφευγε κανένα κορίτσι από την λέσχη αλλά μόνον εγγράφονταν ένα νέο αγόρι, τότε το πλήθος των κοριτσιών θα ήταν 39 και το ποσοστό των αγοριών ακριβώς 40%!
Ένας γρίφος από πραγματική φάση που μόλις συνέβη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌλα τέλεια τετράγωνα.
Έπαιξα μερικά παιχνίδια τάβλι.Ο συνολικός αριθμός παιχνιδιών που έπαιξα είναι τέλειο τετράγωνο. Τέλεια τετράγωνα είναι επίσης και οι αριθμοί των παιχνιδιών που έχασα και κέρδισα.Τα ποσοστά επί τοις εκατό των χαμένων αλλά και των κερδισμένων παιχνιδιών είναι κι αυτά τέλεια τετράγωνα.Το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο είναι το ποσοστό των παιχνιδιών που κέρδισα. Πόσα παιχνίδια έπαιξα?
Έπαιξα συνολικά 25 παιχνίδια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι:
• Σύνολο παιχνιδιών: N=α^2 (1)
• Κερδισμένα: Κ=β^2 (2)
• Χαμένα: Χ=γ^2 (3)
Οπότε έχουμε:
Ν=Κ+Χ === α^2=β^+γ^2 (4)
Ποσοστά
Το ποσοστό των κερδισμένων είναι:
100*(β^2/α^2)=κ^2 (5)
Το ποσοστό των χαμένων είναι
100*(γ^2/α^2)=ν^2 (6)
όπου και τα δύο είναι τέλεια τετράγωνα, και το μεγαλύτερο είναι το ποσοστό των κερδισμένων.
Επειδή τα ποσοστά αθριζόμενα δίνουν αποτέλεσμα 100 έχουμε την εξίσωση:
κ^2+ν^2=100 (7)
Η μοναδική μη τετριμμένη λύση με τέλεια τετράγωνα είναι:
8^2+6^2=64+36=100
Άρα:
• Κέρδισα το 64%
• Έχασα το 36%
Εύρεση των αριθμών
Από τη (5) έχουμε:
100*(β^2/α^2)=κ^2 === 100*(β^2/α^2)=8^2 === 100*(β^2/α^2)=64 === β^2/α^2=64/100 === β/α=4/5 (8)
Οπότε έχουμε για κάποιο ακέραιο μ:
β=4μ και α=5μ
Από τη (4) λαμβάνουμε:
α^2=β^+γ^2 === γ^2=α^2-β^2 === γ^2=5^2μ^2-4^2μ^2 ===
γ^2=25μ^-16μ^2 === γ^2=9μ^2
Υψώνουμε στη τετραγωνική ρίζα και τα δύο μέλη κι’ έχουμε:
γ^2=9μ^2 === sqrt[g^2]=sqrt[9m^2] ===γ=3μ (9)
Όλοι οι αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα:
• Σύνολο παιχνιδιών: Ν=α^2μ^2=5^2μ^2=25μ^2
• Κερδισμένα παιγνίδια: Κ=β^2μ^2=4^2μ^2=16μ^2
• Χαμένα παιγνίδια: Χ=γ^2μ^2=9μ^2
Για το μικρότερο δυνατό πλήθος παιχνιδιών παίρνουμε μ=1
• Σύνολο παιχνιδιών: Ν=25μ^2 === Ν=25*1^2=25*1=25
• Κερδισμένα παιγνίδια: Κ=16μ^2 === Κ=16*1^2=16*1=16
• Χαμένα παιγνίδια: Χ=9μ^2 =9*1^2=9*1=9
Ο μικρότερος δυνατός αριθμός τρεχόντων μελών της λέσχης είναι 64
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι η λέσχη έχει συνολικά N μέλη, από τα οποία Α είναι αγόρια.
Δίνονται οι συνθήκες:
1. 39%<B/N<40%
2. Αν φύγει ένα κορίτσι:
Α/(N−1)<40%
3. Αν εγγραφεί ένα αγόρι:
Α+1/N+1≥40%
4. Δοκιμάζοντας τις μικρότερες δυνατές ακέραιες λύσεις που ικανοποιούν όλα τα παραπάνω, βρίσκουμε:
• N=64 συνολικά μέλη
• Α=25 αγόρια (και 39 κορίτσια)
Έλεγχος:
• 25/64 ≈39,06%
• Αν φύγει ένα κορίτσι: 25/63≈39,68%<40%
• Αν προστεθεί ένα αγόρι: 26/65=40%