Το Παράδοξο του Ελαστικού Σχοινιού (The Rubber Rope)

 

#Σανσημερα  #ΜαθηΜαγικοΗμερολογιο 

Σαν σήμερα, το 2010 πέθανε ο Martin Gardner, λατρεμένη περσόνα της σελίδας.  Αμερικανός συγγραφέας, δημοσιογράφος και ερασιτέχνης μαθηματικός, ευρύτερα γνωστός ως ο άνθρωπος που μύησε τις μάζες στα μαθηματικά μέσα από το παιχνίδι. Με τον Thanasis Kopadis αφιερώσαμε ένα κεφάλαιο στο πρώτο μας βιβλίο το 2022 (1ο σχόλιο)  

Ο Martin Gardner, σε ένα από τα βιβλία του με τίτλο "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments" κάνει αναφορά στο Παράδοξο του Ελαστικού Σχοινιού.

 Το Παράδοξο του Ελαστικού Σχοινιού (The Rubber Rope) είναι ένα «απολαυστικό πρόβλημα» που έχει τη μαθηματική γεύση ενός παραδόξου του Ζήνωνα. Επινοήθηκε από τον Denys Wilquin από τη Νέα Καληδονία. Η πρώτη του επίσημη καταγραφή έγινε τον Δεκέμβριο του 1972 στη στήλη γρίφων του Pierre Berloquin στο γαλλικό μηνιαίο περιοδικό Science et Vie.

Ο Martin Gardner το παρουσίασε στο αμερικανικό κοινό μέσω της διάσημης στήλης του "Mathematical Games" στο περιοδικό Scientific American, στο τεύχος του Μαρτίου 1975. Αργότερα, το πρόβλημα συμπεριλήφθηκε ως το ένατο κεφάλαιο στη συλλογή άρθρων του Gardner με τίτλο "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments". Το παράδοξο αυτό χρησιμοποιείται συχνά για να καταδείξει την απόκλιση της αρμονικής σειράς, αποδεικνύοντας ότι η σταθερή πρόοδος μπορεί να υπερνικήσει μια συνεχή επέκταση του στόχου

Το  παράδοξο

  Φανταστείτε ένα μικροσκοπικό σκουλήκι, μια μοναχική κουκκίδα στην άκρη ενός απέραντου ελαστικού σχοινιού που εκτείνεται σε μήκος ενός χιλιομέτρου. Με μια υπομονή που θυμίζει τον Σίσυφο, το σκουλήκι αρχίζει να σέρνεται προς την άλλη άκρη με την απελπιστικά αργή ταχύτητα του ενός εκατοστού ανά δευτερόλεπτο.

Όμως, το σύμπαν αυτού του σχοινιού είναι εχθρικό: μόλις περάσει το πρώτο δευτερόλεπτο, το σχοινί τεντώνεται ακαριαία και ομοιόμορφα, προσθέτοντας άλλο ένα χιλιόμετρο στο συνολικό του μήκος. Και αυτό επαναλαμβάνεται κάθε δευτερόλεπτο, για πάντα.

Η διαίσθηση ουρλιάζει πως η αποστολή είναι καταδικασμένη. Πώς μπορεί μια ύπαρξη που κινείται με εκατοστά να νικήσει ένα σχοινί που μεγαλώνει κατά χιλιόμετρα; Κι όμως, εδώ η μαθηματική λογική θριαμβεύει πάνω στο προφανές: το σκουλήκι θα φτάσει τελικά στο τέρμα.

Το μυστικό της επιτυχίας του δεν κρύβεται στην ταχύτητά του, αλλά στην ομοιόμορφη φύση του τεντώματος. Επειδή το σχοινί τεντώνεται παντού ταυτόχρονα, το σκουλήκι δεν χάνει την πρόοδό του· μεταφέρεται και αυτό μαζί με το τμήμα του σχοινιού που διαστέλλεται, διατηρώντας το ποσοστό της διαδρομής που έχει ήδη καλύψει.

Μαθηματικά, η πρόοδός του περιγράφεται από την περίφημη αποκλίνουσα αρμονική σειρά. Κάθε δευτερόλεπτο, το σκουλήκι προσθέτει ένα ολοένα και μικρότερο κλάσμα στην πρόοδό του (1/100.000, μετά 1/200.000, μετά 1/300.000...), αλλά επειδή το άθροισμα αυτών των κλασμάτων μπορεί να μεγαλώσει απεριόριστα, είναι μαθηματικά βέβαιο ότι κάποια στιγμή θα ξεπεράσει τη μονάδα — δηλαδή το 100% της διαδρομής.

Βέβαια, ο θρίαμβος αυτός έχει ένα τίμημα που ξεπερνά κάθε ανθρώπινη κλίμακα:

• Χρόνος: Το σκουλήκι θα χρειαστεί περίπου 2,8 * 10^(43429) δευτερόλεπτα, έναν αριθμό τόσο εξωπραγματικό που η ηλικία του δικού μας σύμπαντος μοιάζει μπροστά του με μια απλή αστραπή.

• Μέγεθος: Όταν το σκουλήκι αγγίξει επιτέλους το τέρμα, το σχοινί θα έχει τεντωθεί τόσο πολύ που θα ξεπερνά κατά πολύ τη διάμετρο του γνωστού σύμπαντος, αποτελούμενο πλέον από μια λεπτή, αδιανόητη γραμμή ατόμων.

Είναι ένα μάθημα ταπεινότητας από τον κόσμο των αριθμών: ακόμα και η πιο ελάχιστη πρόοδος, αν παραμείνει σταθερή, μπορεί να κατακτήσει το άπειρο.