Πώς βρήκε ο Euler τον αριθμό e;

 

#ΜαθηΜαγικοΗμερολογιο  Πώς βρήκε ο Euler τον αριθμό e;

   Η διάσημη μαθηματική σταθερά e δεν ανακαλύφθηκε από τον Leonhard Euler, ούτε προέκυψε αρχικά από τον λογισμό. Εμφανίστηκε σχεδόν τυχαία το 1683, όταν ο Jacob Bernoulli προσπαθούσε να μεγιστοποιήσει τους τόκους μιας τραπεζικής κατάθεσης.

  Ο Bernoulli μελετούσε τον ανατοκισμό. Φαντάστηκε έναν τραπεζικό λογαριασμό που ξεκινούσε με 1 τάληρο και απέδιδε ετήσιο επιτόκιο 100%.

- Αν οι τόκοι καταβάλλονταν μία φορά στο τέλος του έτους, το ποσό θα γινόταν 2 τάληρα

-Αν ο ανατοκισμός γινόταν δύο φορές τον χρόνο (50% κάθε έξι μήνες), το τελικό ποσό θα έφτανε τα 2,25 τάληρα.

 -Αν γινόταν κάθε μήνα, το ποσό θα ανέβαινε περίπου στα 2,61 ταληρα.

Ο Bernoulli αναρωτήθηκε τι θα συνέβαινε αν ο ανατοκισμός γινόταν καθημερινά, ωριαία ή ακόμη και συνεχώς.

Ανακάλυψε ότι καθώς τα χρονικά διαστήματα του ανατοκισμού γίνονταν απειροστά μικρά, το ποσό δεν αυξανόταν απεριόριστα. Αντίθετα, πλησίαζε ένα συγκεκριμένο όριο: με συνεχή ανατοκισμό, το τελικό ποσό τείνει στο

e=lim(1+1/n})^n   όταν το n απειριζεται και είναι περίπου  2.7182818..

Έτσι, ο Bernoulli είχε ουσιαστικά ανακαλύψει αυτή τη μυστηριώδη σταθερά. Ωστόσο, δεν είχε ακόμη κατανοήσει τη βαθύτερη σημασία της πέρα από τις χρηματοοικονομικές εφαρμογές.

Εδώ εμφανίζεται ο Euler, περίπου σαράντα χρόνια αργότερα. Πήρε αυτή την «τραπεζική περιέργεια» και την ενσωμάτωσε στα θεμέλια των μαθηματικών. Οι βασικές του συνεισφορές ήταν οι εξής:

1. Το όνομα

Ο Euler ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε το γράμμα e για να συμβολίσει τη σταθερά, σε επιστολή του προς τον μαθηματικό Christian Goldbach το 1731.

Αν και κάποιοι υπέθεσαν ότι επέλεξε το γράμμα επειδή ήταν το αρχικό του επωνύμου του, οι ιστορικοί θεωρούν πιθανότερο ότι απλώς ήταν το πρώτο διαθέσιμο φωνήεν, καθώς χρησιμοποιούσε ήδη τα γράμματα a, b, c και d για άλλες μεταβλητές, ή ότι το συνέδεσε με την έννοια του «εκθετικού» (exponential).

2. Η άπειρη σειρά

Ο Euler απέδειξε ότι το e μπορεί να υπολογιστεί μέσω μιας άπειρης σειράς:

                            e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+....

Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, κατάφερε να υπολογίσει το e με ακρίβεια 18 δεκαδικών ψηφίων, αποκλειστικά με χειρόγραφους υπολογισμούς.

 3. Η αρρητότητα

Ο Euler ήταν ο πρώτος που απέδειξε ότι το e είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή ότι η δεκαδική του ανάπτυξη συνεχίζεται επ’ άπειρον χωρίς να επαναλαμβάνεται περιοδικά.

4. Η ταυτότητα του Euler

Η πιο διάσημη ίσως συνεισφορά του ήταν ότι συνέδεσε το e με άλλες θεμελιώδεις μαθηματικές σταθερές — το π, τη φανταστική μονάδα i, το 1 και το 0 — μέσω της εξίσωσης:

                                    e^(πi)+1=0

Η εξίσωση αυτή συχνά χαρακτηρίζεται ως η ομορφότερη εξίσωση σε όλα τα μαθηματικά.

  Ο Bernoulli ήταν εκείνος που «ξετρύπωσε» τον αριθμό e μέσα από ένα υποθετικό τραπεζικό πρόβλημα. Ο Euler, όμως, ήταν αυτός που αποκάλυψε την πραγματική του σημασία και τον μετέτρεψε σε ακρογωνιαίο λίθο του λογισμού, της φυσικής, της μηχανικής και της σύγχρονης μαθηματικής ανάλυσης.