Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί-Σαύρα-Σποκ

 

Στο επεισόδιο 8 της 2ης Σεζόν (The Lizard-Spock Expansion), ο Sheldon εισάγει το παιχνίδι «Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί-Σαύρα-Σποκ» για να λύσει ένα καθαρά συνδυαστικό πρόβλημα: 

τον περιορισμένο αριθμό δυνατών εκβάσεων που οδηγεί σε συνεχείς ισοπαλίες.

Ραζ: Λέω να δούμε το Saturn 3.  

Χάουαρντ: Λέω να δούμε το Deep Space Nine.  

Ραζ: Ας παίξουμε Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί για να αποφασίσουμε.  

Χάουαρντ: Όχι, δεν νομίζω. Πάντα φέρνουμε ισοπαλία.  

Σέλντον: Αυτό συμβαίνει επειδή το παιχνίδι έχει πολύ λίγες διακριτές εκβάσεις νίκης — μόλις τρεις. Οι παίκτες που γνωρίζονται καλά, διαβάζοντας ο ένας τη σκέψη του άλλου, καταλήγουν ξανά και ξανά στην ίδια επιλογή. Προτείνω το «Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί-Σαύρα-Σποκ».  

Ραζ: Τι;  

Σέλντον: Είναι πολύ απλό.  

Το ψαλίδι κόβει το χαρτί.  

Το χαρτί τυλίγει την πέτρα.  

Η πέτρα συνθλίβει τη σαύρα.  

Η σαύρα δηλητηριάζει τον Σποκ.  

Ο Σποκ σπάει το ψαλίδι.  

Το ψαλίδι αποκεφαλίζει τη σαύρα.  

Η σαύρα τρώει το χαρτί.  

Το χαρτί καταρρίπτει τον Σποκ.  

Ο Σποκ εξαϋλώνει την πέτρα.  

Και όπως πάντα, η πέτρα σπάει το ψαλίδι.  

Αυτό που εξηγεί ο Sheldon βασίζεται στην Συνδυαστική. Για να είναι ένα τέτοιο παιχνίδι δίκαιο (συμμετρικό), το πλήθος των επιλογών Ν πρέπει να είναι περιττός αριθμός. Οι δυνατοί συνδυασμοί ανάμεσα σε δύο διαφορετικές επιλογές — δηλαδή οι κανόνες που ορίζουν ποιος νικά ποιον — δίνονται από το πλήθος των συνδυασμών των n ανά 2: C(Ν,2) 

Στο κλασικό παιχνίδι (Ν = 3):

- Το σύνολο των δυνατών ζευγών επιλογών που μπορούν να κάνουν δύο παίκτες είναι 32 = 9.

- Από αυτά, τα 3 είναι ισοπαλίες (πέτρα-πέτρα, ψαλίδι-ψαλίδι, χαρτί-χαρτί).

- Τα υπόλοιπα 6 είναι εκβάσεις όπου κάποιος κερδίζει.

- Οι διακριτοί κανόνες νίκης (ποιος νικά ποιον, χωρίς να μετράμε τη σειρά των παικτών) είναι μόλις (C(3,2)= 3) (πέτρα-ψαλίδι, ψαλίδι-χαρτί, χαρτί-πέτρα). Αυτή η μικρή ποικιλία κανόνων κάνει εξαιρετικά σύνηθες δύο παίκτες που σκέφτονται παρόμοια να επιλέγουν την ίδια κίνηση.

Στο παιχνίδι του Sheldon (Ν = 5):

- Το σύνολο των δυνατών ζευγών επιλογών εκτοξεύεται στα 5^2 = 25.

- Οι ισοπαλίες είναι 5 (κάθε επιλογή με τον εαυτό της).

- Οι εκβάσεις όπου υπάρχει νικητής γίνονται 20.

- Οι διακριτοί κανόνες νίκης(ποιος νικά ποιον, χωρίς να μετράμε τη σειρά των παικτών) αυξάνονται σε 10.

Με απλά λόγια, ο Sheldon αντικατέστησε τους 3 κανόνες νίκης με 10, και ταυτόχρονα διεύρυνε τον χώρο των μη ισοπαλιών από 6 σε 20, ενώ οι ισοπαλίες αυξήθηκαν μόνο από 3 σε 5. Αυτή η διεύρυνση του πλήθους των διακριτών αλληλεπιδράσεων νίκης κάνει πολύ πιο σπάνιο να συμπέσουν δύο παίκτες στην ίδια επιλογή, λύνοντας έτσι το πρόβλημα της ισοπαλίας  μετρώντας τρόπους.