Eugène Charles Catalan Ο μαθηματικός των αριθμών Catalan

 #Σανσημερα   #ΜαθηΜαγικοΗμερολογιο 

Το 1814 γεννήθηκε ο Ευγένιος Σαρλ Καταλάν (30 Μαΐου 1814 – 14 Φεβρουαρίου 1894), Βέλγος μαθηματικός, ο οποίος όρισε τους αριθμούς που πήραν το όνομά του, μελετώντας το πρόβλημα της διαμέρισης ενός πολυγώνου σε τρίγωνα μέσω μη τεμνόμενων διαγωνίων.

 Γεννήθηκε στις 30 Μαΐου 1814 στη Μπριζ του Βελγίου και σπούδασε μαθηματικά στο Παρίσι, όπου επηρεάστηκε από μεγάλους μαθηματικούς της εποχής, όπως ο Joseph Liouville.

Αρχικά εργάστηκε ως καθηγητής στη Γαλλία, όμως οι δημοκρατικές πολιτικές του πεποιθήσεις δημιούργησαν δυσκολίες στην ακαδημαϊκή του πορεία. Αργότερα εγκαταστάθηκε στο Βέλγιο και δίδαξε στο Πανεπιστήμιο της Λιέγης, όπου συνέχισε την έρευνά του στα μαθηματικά.

  Το όνομά του συνδέθηκε με τους αριθμούς Catalan (1ο σχόλιο) επειδή μελέτησε προβλήματα που αφορούσαν τις διαφορετικές δυνατές διατάξεις παρενθέσεων, τις τριγωνοποιήσεις πολυγώνων και πολλές άλλες συνδυαστικές δομές. Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σήμερα σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της πληροφορικής.

Ο Catalan ασχολήθηκε επίσης με τη γεωμετρία, τη θεωρία αριθμών και την άλγεβρα. 

Πέθανε στις 14 Φεβρουαρίου 1894 στη Λιέγη, αφήνοντας σημαντική κληρονομιά στη μαθηματική επιστήμη.

  Οι αριθμοί Catalan έχουν πάρα πολλές εφαρμογές στη συνδυαστική. Υπάρχουν πολλά προβλήματα απαρίθμησης στη συνδυαστική των οποίων η λύση δίνεται από τους αριθμούς Catalan. Το βιβλίο Enumerative Combinatorics: Volume 2 του μαθηματικού Richard P. Stanley περιέχει ένα σύνολο ασκήσεων που παρουσιάζουν 66 διαφορετικές ερμηνείες των αριθμών Catalan.

Μία από αυτές είναι ότι ο (Cn) δίνει τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν πλήρως παρενθέσεις σε (n+1) παράγοντες (ή, ισοδύναμα, τον αριθμό των τρόπων συσχέτισης n εφαρμογών ενός δυαδικού τελεστή, όπως στο πρόβλημα αλυσίδας πολλαπλασιασμού πινάκων). 

Για n=3, για παράδειγμα, έχουμε τις ακόλουθες πέντε διαφορετικές παρενθετοποιήσεις τεσσάρων παραγόντων:

                               ((ab)c)d,(a(bc))d,(ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd))

Οι πρώτοι αριθμοί Catalan για (n = 0,1,2,3,…) είναι:

                                  1, 1,2, 5,14,42, 132, 429

Ένα κυρτό πολύγωνο με n+2 πλευρές μπορεί να χωριστεί σε τρίγωνα ενώνοντας κορυφές με μη τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα (μια μορφή τριγωνοποίησης πολυγώνου). Ο αριθμός των τριγώνων που προκύπτουν είναι n και ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει αυτό είναι Cn.