Απλά μαθήματα Ευρετικής.Μέρος Τρίτο (Αναζητώντας μοτίβο)

 Σε παλαιότερη ανάρτηση  αναφέρθηκα σε ακολουθίες αριθμών που ζητείται να βρεθεί ο επόμενος όρος.Τέτοιου είδους προβλήματα εκφράζουν απόλυτα  μια μέθοδο επίλυσης  προβλημάτων η οποία ονομάζεται «αναγνώριση μοτίβων»(pattern recognition ).   Αναζήτηση κανονικοτήτων σε μια σειρά αριθμών  σημαίνει  πρακτικά ότι ψάχνουμε τον κανόνα που «κρατά» τους αριθμούς  «δεμένους» , το σχέδιο που ακολουθούν , για να  κατορθώσουμε να εντοπίσουμε τον επόμενο. Ας δούμε αναλυτικά  ένα παράδειγμα:

  Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο από φυσικούς αριθμούς:

                                                        1

                                             2          3         4

                                  5           6           7         8         9

                         10    11      12   14    13      14        15       16

                  17       18        19      20     21     22         23      24    25

        26    27     28   29   30  ……….

Να βρεθεί σε ποια γραμμή  βρίσκεται ο αριθμός 2011;

Ποιες είναι οι πρώτες σκέψεις που κάνουμε;

Αρχικά διαπιστώνουμε ότι δεν μπορούμε να βρούμε σε ποια γραμμή βρίσκεται  ο 2011. «χειροκίνητα». Δηλαδή  δεν πρόκειται να συνεχίσουμε να γράφουμε τις σειρές των αριθμών ωσότου πετύχουμε το 2011.

 Η πρώτη σκέψη είναι να κοιτάξουμε το πλήθος των στοιχείων των γραμμών του τριγώνου:

                              Στην πρώτη γραμμή έχουμε 1 στοιχείο.

                                 >>     δεύτερη  γραμμή έχουμε 3 στοιχεία.

                                 >>    τρίτη   γραμμή έχουμε  5     στοιχεία.

                                >>    τέταρτη γραμμή έχουμε  8    στοιχεία.

                                >>    πέμπτη γραμμή έχουμε  9    στοιχεία.

όμως αυτό δεν βοηθά οι αριθμοί δεν σχετίζονται μεταξύ τους ,τουλάχιστον με την πρώτη ματιά. Στρεφόμαστε  αλλού ,βλέπουμε ότι ο τελευταίος αριθμός κάθε γραμμής είναι τέλειο τετράγωνο .Ξαναγράφουμε το τρίγωνο :

                                                        1²

                                             2          3         2²

                                  5           6           7         8         3²

                         10    11      12   14    13      14        15       4²

                  17       18        19      20     21     22         23      24    5²

        26    27     28   29   30  ……….

   Προχωρώντας ένα βήμα παραπέρα ,παρατηρούμε ότι δεν είναι κάθε όρος στο τέλος της γραμμής  μόνο τέλειο τετράγωνο αλλά είναι παράλληλα  και ο αύξοντας αριθμός της γραμμής :

 1^η γραμμή                                                   1²

 2^η γραμμή                                        2          3         2²

  3^η γραμμή                           5           6           7         8         3²

  4^η γραμμή                     10    11      12   14    13      14        15       4²

  5^η γραμμή                17       18        19      20     21     22         23      24    5²

   6^η γραμμή           26    27     28   29   30  ……….

   Παρατηρούμε επίσης ότι οι αριθμοί  κάθε γραμμής πλην των τετραγώνων βρίσκονται ανάμεσα σε διαδοχικά τετράγωνα.

Το ερώτημα είναι ανάμεσα σε ποια τέλεια τετράγωνα βρίσκεται ο 2011;  Κάνουμε πράξεις και διαπιστώνουμε ότι  44²  =1936   και  45² =2025    .Οπότε  1936<2011<2025   άρα  44²<2011<45² .Τελικά ο 2011 βρίσκεται στην 45^η γραμμή.
Ας δούμε ένα ανάλογο πρόβλημα.

Τοποθετούμε όλους τους φυσικούς αριθμούς  στον ακόλουθο πίνακα.

Α	Β	Γ	Δ	Ε
1		2		3
	4		5
6		7		8
	9		10
11		12		13
	14		15
..		..		….

   

Σε ποια στήλη βρίσκεται ο αριθμός   2011;

 Παρατηρούμε ότι σε  κάθε στήλη οι αριθμοί διαφέρουν κατά 5 μονάδες (λογικό εφόσον έχουμε 5  στήλες  ).Συγκεκριμένα  έχουμε αριθμούς της μορφής :

 Στην στήλη Α: 1,6,11,………. 5κ+1,κ φυσικός αριθμός

Στην στήλη Γ :  2,7,12…………..5κ+2,κ φυσικός αριθμός

Στην στήλη Ε:  3,8,13,………….5κ+3,κ φυσικός αριθμός

Στην στήλη Β:   4,9,14,…………..5κ+4,κ φυσικός αριθμός

Στην στήλη Δ:  5,10,15,…………..5κ,κ φυσικός αριθμός

  Άρα για να βρούμε σε ποια στήλη βρίσκεται το 2011 ,αρκεί να διαιρέσουμε με το 5 και να υπολογίσουμε το υπόλοιπο. Το υπόλοιπο είναι 1 άρα το 2011 βρίσκεται  στην  στήλη Α.