«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 27 Νοεμβρίου 2011

Lewis Carroll,ένα πρόβλημα πιθανοτήτων και μια φάρσα!


«-Μπορείς να μου δείξεις ποιο δρόμο πρέπει να ακολουθήσω για να βγω από εδώ ; Ρώτησε η Αλίκη.
-Αυτό εξαρτάται κατά πολύ από τo που θέλεις να πας ,απάντησε ο Γάτος .
-Δεν με νοιάζει προς τα πού ….,είπε η Αλίκη.
-Τότε , δεν έχει και πολλή σημασία ποιον δρόμο θα πάρεις,αντέτεινε ο Γάτος .
-….αρκεί να οδηγήσει κάπου, πρόσθεσε η Αλίκη εν είδει εξήγησης .
-Ω μην στενοχωριέσαι,θα φθάσεις ,είπε ο Γάτος ,αρκεί να περπατήσεις αρκετά.»
                                                                          Η Αλίκη στην χώρα των θαυμάτων
                                                                       Lewis Carroll



   Όλοι σας γνωρίζετε το βιβλίο «η Άλικη στην χώρα των θαυμάτων». Ένα πολύ γνωστό παιδικό βιβλίο γραμμένο από τον Lewis Carroll ψευδώνυμο του Charles Dodgson, καθηγητή μαθηματικών στο Crist Church, ένα από τα κολλέγια του Πανεπιστήμιου της Οξφόρδης στην Αγγλία. Ο Carroll πέρα από τα παιδικά βιβλία που έγραψε ,το 1893 εξέδωσε ένα μικρό βιβλίο με τίτλο «Προβλήματα στο προσκέφαλο εμπνευσμένα κατά τις άγρυπνες ώρες». Μια συλλογή από εβδομηνταδύο πρωτότυπες μαθηματικές σπαζοκεφαλιές που με φανερή διάθεση να πραγματοποιήσουν ότι υπαινίσσεται ο τίτλος του βιβλίου.
   Ενδιαφέρον παρουσιάζει το πρόβλημα 5 του βιβλίου που παρ ότι έχει πολύ απλή διατύπωση μπορεί εύκολα να αποπροσανατολίσει και ένα έμπειρο λύτη. Τα πρόβλημα έχει ως εξής :
«Eνα σακούλι περιέχει μια σφαίρα που γνωρίζουμε ότι είναι είτε άσπρη είτε μαύρη. Βάζουμε μια άσπρη σφαίρα μέσα στο σακούλι ,ανακατεύουμε τις σφαίρες ,και κατόπιν βγάζουμε μια σφαίρα από το σακούλι που αποδεικνύεται άσπρη. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να τραβήξουμε άσπρη σφαίρα;»
   Ο ίδιος ο Carrol γράφει «μπαίνουμε στον πειρασμό να απαντήσουμε 1/2.Πριν βγάλουμε την άσπρη σφαίρα, το σακούλι υποτίθεται ότι περιέχει, με ίσες πιθανότητες , είτε μια μαύρη και μια άσπρη σφαίρα είτε δυο άσπρες .Αν έχουμε μια μαύρη και μια άσπρη σφαίρα, τότε όταν τραβήξουμε την άσπρη στο σακούλι θα απομένει η μαύρη. Αν είναι και οι δυο άσπρες, θα απομείνει η άσπρη. εφόσον οι δυο καταστάσεις είναι εξίσου πιθανές , φαίνεται πως όταν βγάζουμε μια άσπρη σφαίρα, αυτή που απομένει στο σακούλι έχει ίδιες πιθανότητες να είναι μαύρη η άσπρη.
    Παρότι μοιάζει εύλογος ο παραπάνω συλλογισμός είναι ολωσδιόλου λανθασμένος .Έστω ότι το Α συμβολίζει μια άσπρη σφαίρα τοποθετημένη από την αρχή μέσα στο σακούλι, το Β μια μαύρη και Α2 την άσπρη που προσθέτουμε εκ των υστέρων. Αφού τραβήξoυμε την άσπρη σφαίρα υπάρχουν τρεις, και όχι δυο ισοπίθανες καταστάσεις :
1: Τραβήξαμε την Α2 , αφήνοντας την Α
2:Τραβηξαμε την Α, αφήνοντας την Α2
3:Τραβηξαμε την Α2 ,αφήνοντας την Β.
Στις δυο πρώτες περιπτώσεις απομένει μια άσπρη σφαίρα στο σακούλι. Στην τρίτη, η σφαίρα που απομένει είναι μαύρη. Επομένως η κάπως απροσδόκητη απάντηση είναι 2/3.
Στο ίδιο βιβλίο υπάρχει ένα ευτράπελο πρόβλημα . Το τελευταίο πρόβλημα του βιβλίου το 72:
« Ένα σακούλι περιέχει δυο σφαίρες για τις οποίες γνωρίζουμε μόνο ότι η καθεμία είναι είτε μαύρη είτε άσπρη. Καθορίστε το χρώμα τους χωρίς να τις βγάλετε από το σακούλι.»
Ο Carroll έγραφε με προφανή διάθεση χιούμορ στην απάντηση του προβλήματος :
« Γνωρίζουμε ότι αν το σακούλι περιείχε τρεις σφαίρες , δυο μαύρες και μια άσπρη, η πιθανότητα να τραβήξουμε μαύρη σφαίρα θα ήταν 2/3, και γνωρίζουμε επίσης ότι ουδεμία άλλη κατάσταση δίνει αυτή την πιθανότητα.
 Τώρα , η πιθανότητα να είναι οι σφαίρες που περιέχονται στο δεδομένο σακούλι :
(α) ΜΜ
(β) ΜΑ
(γ) ΑΑ
είναι αντίστοιχα 1/4 ,1/2,1/4.
-Προσθέτουμε μια μαύρη σφαίρα.
-Οι πιθανότητες τώρα να είναι οι σφαίρες που περιέχονται στο σακούλι:
(α) ΜΜΜ
(β) ΜΑΜ
(γ) ΑΑΜ
Είναι , όπως και πριν, 1/4,1/2,1/4
Επομένως , η πιθανότητα να τραβήξουμε τώρα μια σφαίρα είναι:
¼ x 1+1/2x2/3x1/4x1/3=3/3
Επομένως το σακούλι περιέχει τώρα τις σφαίρες ΜΜΑ (αφού ουδεμία άλλη κατάσταση δίνει αυτήν την πιθανότητα)
Άρα πριν προστεθεί η μαύρη σφαίρα,περιείχε ΜΑ,δηλαδή μια μαύρη και μια άσπρη σφαίρα.
  Η απόδειξη είναι εξόφθαλμα λανθασμένη και πολλοί μαθηματικοί κατηγόρησαν τον Carroll ότι δεν κατανοούσε τις πιθανότητες,όμως το πρόβλημα όπως γράφει ο Μάρτιν Γκάρντνερ ήταν μια φάρσα , ένα αστείο.Στην εισαγωγή του βιβλίου ο ίδιος ο Carroll αποκαλύπτει το αστείο:
-«Αν κάποιος από τους αναγνώστες μου αισθανθεί την επιθυμία να με κατηγορήσει ότι έχω ασχοληθεί αποκλειστικά με την περιοχή του κοινότοπου,χωρίς να διακινδύνεψα πότε μια περιήγηση έξω από τα οικεία μονοπάτια , μπορώ με υπερηφάνεια να του επισημάνω ένα πρόβλημα «υπερβατικών» πιθανοτήτων, ένα θέμα που,όπως πιστεύω, έχει αντιμετωπιστεί ελάχιστα ακόμα και από τους πλέον ριψοκίνδυνους ερευνητές των μαθηματικών .Στον συνηθισμένο αναγνώστη μπορεί να φάνει αφύσικο ίσως και παράδοξο – όμως αυτός ο αναγνώστης πρέπει να αναρωτηθεί ειλικρινά: και η ίδια η ζωή δεν είναι ένα παράδοξο;»






Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...