Η ακολουθία Φιμπονάτσι (Fibonacci) ,τα κέρματα και το τρίγωνο του Pascal!

          

   Όλοι έχετε δει την ταινία «κώδικας Ντα Βίντσι» που βασίζεται στο ομώνυμο βιβλίο του Νταν Μπράουν.Στο πρώτο πλάνο της ταινίας ο έφορος ενός μουσείου πεθαίνοντας γράφει στο δάπεδο με το αίμα του τους αριθμούς 13,3,2,21,1,1,8 και 5 ,οι ήρωες της ταινίας καλούνται να αποκρυπτογραφήσουν τους αριθμούς και να διαπιστώσουν ότι  πρόκειται για όρους της ακολουθίας Fibonacci.Ίσως πρόκειται για την διασημότερη ακολουθία  στην ιστορία των μαθηματικών. 

     Ας δούμε λοιπόν λίγες μόνο από τις εφαρμογές αυτής της θαυμαστής ακολουθίας .

  Μπορούμε να παράγουμε εύκολα την ακολουθία Fibonacci αν θέσουμε τους δυο πρώτους όρους  της όσους με το 1 και συνεχίσουμε να προσθέτοντας τους δυο τελευταίους αριθμούς της για να πάρουμε τον επόμενο :

                                          1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….

Η ακολουθία ανακαλύφθηκε από τον Leonardo της Πίζα (γνωστότερο ως Fibonacci)  στις αρχές του 13^ου αιώνα. Ήταν η απάντηση σε ένα διάσημο πρόβλημα που είχε θέσει ο ίδιος ο Fibonacci , το γνωστό ως «πρόβλημα των κουνελιών». Είναι το εξής :

 Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του χρόνου, αν ξεκινήσουμε από ένα ζευγάρι και όλα τα ζευγάρια γεννούν κάθε μήνα ένα καινούργιο το οποίο φτάνει σε ηλικία αναπαραγωγής σε δυο μήνες .

Οι πρώτοι μήνες της λύσης παρουσιάζονται στο σχήμα:

 Παρατηρήστε ότι το πλήθος των ζευγαριών κάθε μήνα αντιστοιχεί στους όρους της ακολουθίας Fibonacci .Έτσι έχουμε τα εξής πλήθη ζευγαριών κουνελιών  στο  τέλος κάθε μήνα του έτους :

                                      1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

Επομένως ,η απάντηση στο πρόβλημα μας είναι ότι έπειτα από δώδεκα μήνες θα έχουμε συνολικά 233 ζευγάρια κουνελιών.Αφού η ακολουθία Fibonacci  είναι άπειρη, μπορούμε εύκολα να βρούμε το πλήθος των ζευγαριών έπειτα από οποιοδήποτε χρονικό διάστημα.

Ο συναρτησιακός συμβολισμός για την ακολουθία δόθηκε για πρώτη φορά από τον Kepler  το 1611 .Την περιέγραψε ως Fn+Fn+1=Fn+2  όπου Fn είναι ο νιοστός  όρος της ακολουθίας Fibonacci , Fo=0,F1=1. Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται σε μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών. Δείτε:

  Πιθανότητες

Οι αριθμοί Fibonacci  εμφανίζονται σε ποικιλία προβλημάτων πιθανοτήτων και συνδυαστικής .Για αρχή αν παρατηρήσουμε το τρίγωνο του Pascal  θα δούμε ότι τα αθροίσματα των διαγωνίων παράγουν του όρους της ακολουθίας Fibonacci (βλέπε σχήμα)

                                  

                                   

 Έστω ότι ρίχνουμε ένα νόμισμα Ν φορές και καταγράφουμε στην σειρά  τα αποτελέσματα. Πόσες διαφορετικές ακολουθίες κεφαλών και γραμμάτων μπορούν να εμφανιστούν αν δεν μπορούμε να έχουμε δυο ή περισσότερες κεφάλες στην σειρά;

Σον πίνακα που ακολουθει βλέπουμε όλες τις δυνατές ακολουθίες για κάθε συγκεκριμένο πλήθος ρίψεων. Παρατηρούμε ότι ακολουθία Fibonacci δίνει το πλήθος των ζητούμενων ακολουθιών. Μπορούμε έτσι να καθορίσουμε το πλήθος των ζητούμενων ακολουθιών για οποιοδήποτε πλήθος ρίψεων του νομίσματος.

Αριθμός ρίψεων                Ακολουθίες δίχως διαδοχικές κεφαλές        Συνολικό πλήθος

        1                                                    Κ,Γ                                                                        2

        2                                                    ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ                                                              3

         3                                          ΚΓΓ,ΓΚΓ,ΓΓΚ,ΚΓΚ,ΓΓΓ                                                  5

        4                                    ΚΓΓΓ,ΓΚΓΓ,ΓΓΚΓ,ΓΓΓΚ,ΚΓΚΓ,ΚΓΓΚ,ΓΚΓΚ,ΓΓΓΓ              8

        5                        ΚΓΓΓΓ,ΓΚΓΓΓ,ΓΓΚΓΓ,ΓΓΓΚΓ,ΓΓΓΓΚ,ΚΓΓΓΚ,ΚΓΓΚΓ,                    13

                                      ΚΓΓΓΚ,ΓΚΓΚΓ,ΓΚΓΓΚ,ΓΓΚΓΚ,ΚΓΚΓΚ,ΓΓΓΓΓ                           

  Πίνακας μετατροπής

Ο πίνακας της ακολουθίας  Fibonacci μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σαν ένας  απλός πίνακας μετατροπής μιλίων σε χιλιόμετρα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δυο διαδοχικούς όρους της ακολουθίας για να μετατρέψουμε ένα πλήθος μιλίων σε χιλιόμετρα.

Για παράδειγμα, 3 μίλια είναι περίπου 5 χιλιόμετρα

                              5 μίλια είναι περίπου 8 χιλιόμετρα                                                                 

                               8 μίλια είναι περίπου 13 χιλιόμετρα   κ.οκ

Αυτή η μέθοδος μετατροπής είναι δυνατή γιατί ο λόγος  μεταξύ δυο διαδοχικών αριθμών Fibonacci  (1.618  καθώς αυξάνουν οι αριθμοί ) και ο  συντελεστής μετατροπής μεταξύ μιλίων και χιλιομέτρων (1.609) είναι σχεδόν ίσοι .

Η διαφορά τους είναι ίση μόλις με 0.009 και έτσι η ακολουθία Fibonacci  μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένας απλός και αρκετά ακριβής  πίνακας μετατροπής μιλίων σε χιλιόμετρα.

Χιλιόμετρα	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	-
Μίλια		1	1	2	3	5	8	13	21	34	-
Λόγος		1	2	1.5	1.66	1.6	1.625	1.615	1.619	1.617		1.618

Άλγεβρα πινάκων

Η ακολουθία Fibonacci εντοπίζεται και σε συγκεκριμένα προβλήματα της γραμμικής άλγεβρας .Για παράδειγμα η ακολουθία αυτή παράγεται όταν υψώνουμε στην νιοστή δύναμη ένα συγκεκριμένο 2x2  πίνακα.Αυτός ο πίνακας έχει τρία  όμοια μη μηδενικά στοιχεία στις τρεις πρώτες θέσεις και 0 στην τελευταία

                                                                                            

Όλοι οι παραγόμενοι πίνακες περιέχουν αριθμούς Fibonacci.Ας δούμε τους παραγόμενους πίνακες όταν υψώνουμε τον αρχικό πίνακα στην πέμπτη δύναμη:

                                                 

                                                    

                                                  

                                                   

Βλέπουμε ότι όλοι οι αριθμοί που περιέχονται στους  παραγόμενους πίνακες είναι αριθμοί Fibonacci, αλλά το στοιχείο που βρίσκεται στην 1^η γραμμή και 1^η στήλη μας δίνει τους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας .