Η μέρα των Χριστουγέννων και ένα πρόβλημα του μαθηματικού διαγωνισμού Putnam!

   Φέτος τα Χριστούγεννα πέφτουν Κυριακή. Πέρυσι ήταν Σάββατο, εν γένει  η μέρα των Χριστουγέννων αλλάζει κάθε χρόνο. Είναι εύλογο λοιπόν να υποτεθεί  ότι κάθε μέρα της εβδομάδας έχει τις ίδιες πιθανότητες να είναι η μέρα των Χριστουγέννων. Όμως αυτό δεν είναι σωστό! 

  Δεν έχουν όλες οι μέρες της εβδομάδας την ίδια πιθανότητα να πέφτουν Χριστούγεννα. Ένα ανάλογο πρόβλημα τέθηκε το 1950,στον μαθηματικό  διαγωνισμό Putnam. Η διατύπωση του είναι η  εξής:

«Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή δεν είναι 1/7».

Για να είμαστε ακριβείς το πρόβλημα  αφορά  το Γρηγοριανό ημερολόγιο και οι  κανόνες που  καθορίζουν τα δίσεκτα και τα μη δίσεκτα έτη είναι:

1.Τα έτη που δεν είναι δίσεκτα έχουν 365 μέρες ενώ τα έτη που είναι δίσεκτα έχουν 366 μέρες .

2.Τα μη δίσεκτα έτη δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή διαιρούνται με το 100 αλλά όχι με το 400      ( για παράδειγμα τα 1700,1800 και 1900 δεν ήταν δίσεκτα έτη.)

3.Τα δίσεκτα έτη διαιρούνται με το 4 αλλά όχι με το 100 ή διαιρούνται με το 400 (για παράδειγμα τα έτη 1600 και 200 ήταν δίσεκτα)

   Επανερχόμαστε στο αρχικό ερώτημα: «να αποδειχτεί ότι  η πιθανότητα η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή  δεν είναι 1/7»

Καταρχήν  ας  δούμε  γιατί αλλάζει κάθε χρόνο η μέρα των Χριστουγέννων. Ένα έτος με 365 ημέρες έχει 52 εβδομάδες  και 1 επιπλέον ημέρα .Αυτή η μέρα είναι η αιτία που κάθε ερχόμενο έτος θα ξεκινήσει μια μέρα αργότερα από ότι ξεκίνησε το προηγούμενο (αν το 2011 ξεκίνησε με Σάββατο,το 2012 θα ξεκινήσει με Κυριακή) .Άρα η διαδικασία αυτή το επόμενο έτος  θα «σπρώξει» και την ημέρα των Χριστουγέννων κατά μια μέρα.

Είναι αναμενόμενο λοιπόν ύστερα από ένα συγκεκριμένο αριθμό  ετών  θα υπάρξει  ταύτιση όλων  των ημερών ενός έτους με τις ημέρες  κάποιου  από τα προηγούμενα. Ποιος είναι αυτός ο χρονικός κύκλος .Για το Γρηγοριανό  ημερολόγιο  ο  χρονικός κύκλος είναι 400 χρόνια .

Δείτε, κάθε 400 χρόνια έχουμε 303 μη δίσεκτα έτη και  97 δίσεκτα έτη,  ένα σύνολο από 303x365+97x366= 146097 μέρες . Ο αριθμός αυτός  διαιρείται ακριβώς με το 7, αυτό σημαίνει ότι 400 χρόνια είναι ακριβώς  146097 /7=20871 εβδομάδες .Χωρίς υπόλοιπο καμία μέρα , η μέρα της εβδομάδας που θα πέσουν τα Χριστούγεννα  καθώς και όλες  οι άλλες μέρες  θα  είναι οι ίδιες κάθε 400 χρόνια. Τώρα όσο αφορά τη ζητούμενη πιθανότητα .Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε διάστημα 400 ετών υπάρχουν  Ε έτη που τα Χριστούγεννα θα πέφτουν Κυριακή , τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι  Ε/400  αλλά για καμία φυσική τιμή του Ε το κλάσμα  Ε/400  δεν ισούται με το 1/7.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η συχνότητα εμφάνισης κάθε ημέρας στην γιορτή των Χριστουγέννων σε διάστημα 400 ετών, αποδεικνύεται ότι:

Κυριακή  58

Δευτέρα    56

Τρίτη   58

Τέταρτη  57

Πέμπτη  57

Παρασκευή 58

Σάββατο 56

Άρα είναι πιθανότερο η μέρα των Χριστουγέννων να πέσει Κυριακή,Τρίτη ή Παρασκευή.

Οι προληπτικοί θα είναι καλό να γνωρίζουν ότι η 13 κάθε μήνα είναι πιθανότερο να πέσει παρασκευή παρά οποιαδήποτε άλλη μέρα της εβδομάδας.