Το 4 ,το φ και ένα παιχνίδι πινακίδων !!!!

   Σε παλαιότερη ανάρτηση  έγινε αναφορά στο πρόβλημα των τεσσάρων τεσσαριών .Είναι εκπληκτικό λοιπόν πως το ίδιο θέμα ανακύπτει ξανά και ξανά με νέες και ευφάνταστες παραλλαγές. Ο μαθηματικός και συγγραφέας βιβλίων εκλαϊκευμένων μαθηματικών Κλίφορντ  Πικόβερ  έκανε ένα διαγωνισμό  στον οποίο το μείζον ερώτημα ήταν το εξής :

  Με τη χρήση οποιουδήποτε από τα συνήθη μαθηματικά σύμβολα να τοποθετηθούν τέσσερα 4 έτσι ώστε η αριθμητική παράσταση που θα προκύψει να προσεγγίζει όσο το δυνατόν περισσότερο τον χρυσό αριθμό φ=1.61803.Επιτρέπονται  τα σύμβολα,+,-,/,x καθώς και τα σύμβολα για τις δυνάμεις, ρίζες ,παραγοντικά .

Σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα  ο Πικόβερ έλαβε πολλές απαντήσεις :

                

Μια πρωτότυπη προσέγγιση  είναι να θεωρήσει κανείς ότι επειδή:

                          

Ο χρυσός αριθμός  γράφεται:

  Ο νικητής του διαγωνισμού ήταν ο  Μπράιαν  Ρούτελ από το πανεπιστήμιο Βικτόρια του Ουέλινγκτον της Νέας Ζηλανδίας ο όποιος δεν βρήκε μόνο  προσέγγιση αλλά ακριβής λύση :

    Ένα  παρόμοιο αριθμητικό παιχνίδι βρίσκουμε στην πρώην  σοβιετική ένωση .Το πρόβλημα των πινακίδων ,το επινόησε  ο Lev Landau . Ο Landau υπήρξε ένας θρυλικός  Ρώσος φυσικός με εξαιρετικό ταλέντο  στα μαθηματικά .Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να κατασκευαστεί  μια ισότητα με τους τέσσερεις αριθμούς μιας πινακίδας κυκλοφορίας ( οι σοβιετικές πινακίδες είχαν την μορφή  ΑΒ-ΓΔ για παράδειγμα 12-34) .Οι κανόνες του παιχνιδιού όριζαν τα εξής :

Μπορεί να γίνει χρήση αλγεβρικών, αριθμητικών ακόμα και τριγωνομετρικών πράξεων. Δεν επιτρέπονταν να  αλλάξει η θέση των ψηφίων , ενώ πρέπει η λύση να βρεθεί με το μυαλό. Με άλλα λόγια πρέπει να μετατραπεί το – σε = εισάγοντας μεταξύ των αριθμών τα αριθμητικά σύμβολα που είναι γνωστά από το σχολειό. Για παράδειγμα αν η πινακίδα ήταν

                

                                

 Υπήρχε η φήμη ότι ο Landau  μπορούσε να βρει  την απάντηση αμέσως μόλις αντίκριζε μια πινακίδα.  Ο μαθηματικός Y.Gandel  απέδειξε ότι για κάθε πινακίδα υπάρχει λύση  και το παιχνίδι σταδιακά έχασε την γοητεία του  γιατί  αρκούσε να εφαρμόσει κανείς σε οποιαδήποτε πινακίδα πολλές φορές ένα αναγωγικό τύπο που χρησιμοποίησε στην απόδειξη της ύπαρξης και βρει την λύση.

 Σχετικό θέμα με την κατασκευή προσεγγίσεων του π με τέσσερα τεσσάρια δημοσιεύτηκε το 1962 στο μαθηματικό περιοδικό που εκδίδει το πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ το Eureka από τους μαθηματικούς  J.Conway  και M.Guy  με τίτλο “Pi in four 4’s”.