Ενα κόσκινο πρώτων αριθμών απο τον Conway.

John Horton Conway

                                            

«Παύουμε να παίζουμε όταν γερνάμε ή γερνάμε όταν παύουμε να παίζουμε;» Τζωρτζ Μπέρναρντ Σω

   O J.Horton Conway- καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Πρίνστον- πέρα από το μαθηματικό ερευνητικό του έργο είναι παθιασμένος με τα ψυχαγωγικά μαθηματικά. Το ευρύ κοινό τον γνωρίζει από την ακολουθία του Δες και Πες  και από το Το παιχνίδι της ζωής .

Αυτό όμως που δεν είναι γνωστό είναι ότι έχει  επινοήσει ένα κόσκινο πρώτων αριθμών, παραπλήσιο με  αυτό του Ερατοσθένη που μπορεί να εντοπίζει όσους πρώτους αριθμούς επιθυμούμε με την σειρά που εμφανίζονται .Σύμφωνα με την μέθοδο του Conway απαιτείται  ένα σύνολο 14 κλασμάτων.

                               

 Η μέθοδος είναι απλή:

  Επιλέγουμε έναν αριθμό και διατρέχουμε με πολλαπλασιασμούς τα κλάσματα μεχρις οτου να έχουμε ακέραιο αριθμητικό αποτέλεσμα. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι να καταλήξουμε σε δύναμη του 2. Ο εκθέτης της δύναμης είναι ο ζητούμενος πρώτος. Συνεχίζουμε την διαδικασία και κάθε φορά που θα καταλήγουμε σε δύναμη του 2 ο  έκθετης της θα είναι ο επόμενος πρώτος.  Αρχίζουμε από το 2.Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε ότι απαιτούνται  19 βήματα για αν εντοπίσουμε τον αρχικό πρώτο αριθμό( το 2)  .

                                        

Για να βρούμε τον επόμενο πρώτο -το 3- απαιτούνται 50 βήματα ( θα εμφανιστεί η δύναμη 2^3) .Για τον επόμενο πρώτο -το 5- θα χρειαστούν 211 βήματα ( θα εμφανιστεί η δύναμη 2^5).Η όλη διαδικασία  ίσως να φαίνεται χρονοβόρα αλλά φανταστείτε  μόνο με 14 κλάσματα μπορούμε να βρούμε μια απειρία πρώτων αριθμών.Γιατί δουλεύει η μέθοδος;

Μια πολυσέλιδη διαισθητική προσέγγιση της απόδειξης στο βιβλίο «Αncient puzzles» του  Dominic Olivastro .