«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέεςόχι.» G.Hardy
Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014
Μια σπαζοκεφαλιά από την σύναξη ....
Δυο σπαζοκεφαλιές,μια προτεινόμενη από τον Κρίστοφερ Μασλάνκα στην σύναξη προς τιμή του Μάρτιν Γκάρντνερ (Gathering 4
Gardner) στην Άτλαντα των Η.Π.Α το 2004 και η δεύτερη από το περιοδικό Quantum.
1)Έστω κ, α, μ το πλήθος των κόκκινων άσπρων και μπλε τριαντάφυλλων αντίστοιχα τότε θα ισχύει κ+α=100,α+μ=53 και μ+κ=χ<53 Προσθέτουμε κατά μέλη τις τρεις εξισώσεις και λαμβάνουμε: 2κ+2μ+2α=153+χ (1) όμως 2α+2κ=200 και ισχύει: 200 + 2μ = x + 153 έτσι x = 47 + 2μ Γνωρίζουμε ότι το μπουκέτο περιέχει μπλε τριαντάφυλλα ( μ διάφορος του μηδέν) και ότι x<53 ή 47 + 2μ<53 ή μ<3 ,μ ακέραιος οπότε μ=1 ή μ=2. Για μ=1 προκύπτει ένα 1 μπλε τριαντάφυλλο ,52 άσπρα τριαντάφυλλα και 48 κόκκινα . Για μ=2 τότε προκύπτουν 2 μπλε, 51 άσπρα και 49 κόκκινα τριαντάφυλλα. 2) Ονομάζουμε τα κέρματα (κατά την δεξιόστροφη φορά) 1,2,3,4,5,6,7 .Γυρίζουμε τα κέρματα 1,2,3,4,5 και μετά τα 2,3,4,5,6 και ούτω καθεξής επτά φορές αρχίζοντας κάθε πεντάδα από μια θέση δεξιότερα. Έτσι, τελευταία πεντάδα θα είναι η 7,1,2,3,4.Καθε φορά γυρίζουμε πέντε κέρματα και, επομένως , κάθε κέρμα αλλάζει πέντε φορές τελικά θα μείνει στην ανάποδη από την αρχική του πλευρά. Αν γυρίζουμε τέσσερα κέρματα κάθε φορά , δεν μπορούμε να αναποδογυρίσουμε και τα επτά. Για να επαληθεύσουμε ότι είναι πράγματι αδύνατο, γράφουμε τον αριθμό +1 στην πλευρά της κεφαλής και τον αριθμό -1 στην πλευρά των γραμμάτων .Έτσι, το γύρισμα ενός κέρματος ισοδυναμεί με την αλλαγή του πρόσημου του αριθμού στην πάνω του πλευρά .Όταν γυρίζουμε τέσσερα κέρματα αλλάζουν τέσσερα πρόσημα , οπότε το γινόμενο των +1 και -1 στις πάνω πλευρές των κερμάτων παραμένει σταθερό .Αντίθετα ,αν γυρίσουμε επτά κέρματα , το γινόμενο αυτό θα αλλάξει πρόσημο .
%20(210%20%C3%97%20140%20mm)%20(29).gif)
%20(210%20%C3%97%20140%20mm)%20(30).gif)
ΑπάντησηΔιαγραφή1)Έστω κ, α, μ το πλήθος των κόκκινων άσπρων και μπλε τριαντάφυλλων αντίστοιχα τότε θα ισχύει κ+α=100,α+μ=53 και μ+κ=χ<53
Προσθέτουμε κατά μέλη τις τρεις εξισώσεις και λαμβάνουμε:
2κ+2μ+2α=153+χ (1) όμως 2α+2κ=200 και ισχύει:
200 + 2μ = x + 153 έτσι x = 47 + 2μ
Γνωρίζουμε ότι το μπουκέτο περιέχει μπλε τριαντάφυλλα ( μ διάφορος του μηδέν) και ότι x<53 ή 47 + 2μ<53 ή μ<3 ,μ ακέραιος οπότε μ=1 ή μ=2.
Για μ=1 προκύπτει ένα 1 μπλε τριαντάφυλλο ,52 άσπρα τριαντάφυλλα και 48 κόκκινα .
Για μ=2 τότε προκύπτουν 2 μπλε, 51 άσπρα και 49 κόκκινα τριαντάφυλλα.
2) Ονομάζουμε τα κέρματα (κατά την δεξιόστροφη φορά) 1,2,3,4,5,6,7 .Γυρίζουμε τα κέρματα 1,2,3,4,5 και μετά τα 2,3,4,5,6 και ούτω καθεξής επτά φορές αρχίζοντας κάθε πεντάδα από μια θέση δεξιότερα. Έτσι, τελευταία πεντάδα θα είναι η 7,1,2,3,4.Καθε φορά γυρίζουμε πέντε κέρματα και, επομένως , κάθε κέρμα αλλάζει πέντε φορές τελικά θα μείνει στην ανάποδη από την αρχική του πλευρά.
Αν γυρίζουμε τέσσερα κέρματα κάθε φορά , δεν μπορούμε να αναποδογυρίσουμε και τα επτά. Για να επαληθεύσουμε ότι είναι πράγματι αδύνατο, γράφουμε τον αριθμό +1 στην πλευρά της κεφαλής και τον αριθμό -1 στην πλευρά των γραμμάτων .Έτσι, το γύρισμα ενός κέρματος ισοδυναμεί με την αλλαγή του πρόσημου του αριθμού στην πάνω του πλευρά .Όταν γυρίζουμε τέσσερα κέρματα αλλάζουν τέσσερα πρόσημα , οπότε το γινόμενο των +1 και -1 στις πάνω πλευρές των κερμάτων παραμένει σταθερό .Αντίθετα ,αν γυρίσουμε επτά κέρματα , το γινόμενο αυτό θα αλλάξει πρόσημο .