Ο Πυθαγόρας, τα κουκιά και η «γεωμετρική» άλγεβρα

                      

   Ο μόνος μαθηματικός που μπορώ να θυμηθώ ως ζηλωτή χορτοφάγο είναι ο Πυθαγόρας. Αν χρησιμοποιήσουμε το διαδίκτυο για μια πρόχειρη αναζήτηση της λέξης «Πυθαγόρας», διαπιστώνουμε ότι η συντριπτική πλειοψηφία των αποτελεσμάτων δεν αφορά τον μαθηματικό αλλά τον φιλόσοφο-εσωτεριστή Πυθαγόρα. Από τα τελετουργικά μύησης στην σέχτα, την πεντάλφα και την μετεμψύχωση  μέχρι μια ειδική new age πυθαγόρεια δίαιτα που υπόσχεται θαυμαστά αποτελέσματα για την απαλλαγή από διατροφικές κραιπάλες. Εντάξει, δεν εκπλήσσομαι, ο ορθολογισμός και η επιστήμη πότε δεν ήταν της μόδας. Συν το γεγονός ότι η πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμών είχε ως αφετηρία την πνευματική αναζήτηση με έντονη μυστικιστική χροιά  παραπλήσια με την Εβραίικη Καμπάλα. 

   Ο πυθαγορισμός διαπνεόταν από την πίστη στον αριθμό και την θέση που αυτός κατέχει στο σύμπαν με τον μαθηματικό σε ρόλο ιεροφάντη που την αποκαλύπτει. Θυμάμαι προ εικοσαετίας, όταν ήμουν μαθητής στο στρογγυλό στο Μπραχάμι, τον καθηγητή μαθηματικών της δέσμης που έλεγε χαριτολογώντας …αν ζούσε σήμερα ο Πυθαγόρας θα έπιανε το λόττο κάθε εβδομάδα…

   Ο Πυθαγόρας υπήρξε αινιγματικός και μυστηριώδης ως προσωπικότητα με ένα περιπετειώδη βίο που η αλήθεια και ο μύθος είναι δυσδιάκριτοι, είναι όμως βέβαιο ότι ήταν υπαρκτό πρόσωπο και μάλιστα είχε πολύ καλές δημόσιες.. σχέσεις. Γεννήθηκε το 580 π.Χ στο νησί της Σάμου, στο Αιγαίο πέλαγος.   Η πλέον σημαντική γνωριμία της νεότητας του, που καθόρισε σημαντικά και την περαιτέρω εξέλιξη του ως μαθηματικού και φιλόσοφου ήταν ο Θαλής ο Μιλήσιος. Από αυτόν έμαθε ότι πρέπει να αποδεικνύουμε τα αποτελέσματα των ερευνών που κάνουμε και να μην δεχόμαστε άκριτα όσα παρατηρούμε. Ταξιδέψε στην Αίγυπτο και στην Περσία, εκεί ήρθε σε επαφή με την φιλοσοφία, τα μαθηματικά, την θρησκεία και την κουλτούρα αυτών των λαών. Στην Βαβυλωνία έζησε είκοσι χρόνια και εκεί δίδαξε αστρονομία, μαθηματικά και αστρολογία. Η αστρολογία παρότι σήμερα χαρακτηρίζεται ψευδοεπιστήμη αποτέλεσε βασικό μέσο βιοπορισμού για πολλούς μαθηματικούς. Όταν επέστρεψε στην γενέτειρα του, η Σάμος βρισκόταν υπό την σκληρή διακυβέρνηση του τυράννου Πολυκράτη, οπότε το 530 π.Χ την εγκαταλείπει και  πάει στην Αίγυπτο και τελικά κατέληξε στον Κρότωνα στην κάτω Ιταλία. Εκεί ίδρυσε μια φιλοσοφική σχολή που αρχικά απέκτησε μεγάλη φήμη και επιρροή αλλά κατόπιν οι κάτοικοι του Κρότωνα στράφηκαν εναντίον της και αναγκάστηκε να μετοικήσει πάλι στο Μεταπόντιο επίσης στην κάτω Ιταλία όπου και πέθανε το 500 π.Χ. Στον Πυθαγόρα και στους μαθητές του οφείλουμε την απόδειξη του θεωρήματος που φέρει το όνομα του, την ανακάλυψη της ύπαρξης των άρρητων αλλά και την συγκρότηση μια αριθμητικής θεώρησης του κόσμου που φέρει έντονο μυστικιστικό χαρακτήρα. Οι πυθαγόρειοι αποτελούσαν μια κοινότητα κοινοκτημοσύνης με αυστηρές και απαρέγκλιτες αρχές που εξερευνούσε τα μυστήρια των αριθμών και διάθετε μια σειρά από κανόνες που ονομάζονταν Χρυσοί στίχοι. Κάποιοι από αυτούς τους κανόνες μοιάζουν απόλυτα λογικοί και θα τους ασπαζόταν ο καθένας ακόμη και σήμερα, άλλοι, όμως είναι τουλάχιστον αλλοπρόσαλλοι.

Δεν μπορείς να διαφωνήσεις με την παραίνεση:

Έχεις την ιερή  υποχρέωση να παρέχεις τη  συμβουλή και τις γνώσεις σου

   για  την πρόοδο και  βελτίωση του ατόμου και της ανθρωπότητας.

ή την

Να μη ομιλείς ούτε και να πράττεις τίποτα όταν είσαι οργισμένος.

Αισθάνεσαι όμως αμηχανία με την απαγόρευση:

Να μη τρώγεις κουκιά  ή  να αποφεύγεις τα κουκιά. 

    Ο Πυθαγόρας θεωρούσε ότι η ιδιοκτησία  εμπόδιζε την αναζήτηση της αλήθειας. Οι Έλληνες εκείνης της περιόδου φορούσαν μάλλινα ενδύματα, που συχνά τα έβαφαν με χρώματα. Οι εύποροι άνδρες έριχναν περιστασιακά έναν μανδύα στους ώμους τους, στερεώνοντας τον με χρυσή καρφίτσα ή πόρπη, επιδεικνύοντας περήφανα τον πλούτο της. Ο Πυθαγόρας απέρριπτε την πολυτέλεια και απαγόρευε στους οπαδούς του κάθε πολυτελές ένδυμα εκτός από απλά λινά υφάσματα. Δεν κέρδιζαν καθόλου χρήματα και βασίζονταν αποκλειστικά στις ελεημοσύνες από τον πληθυσμό του Κρότωνα και ίσως τον πλούτο μερικών ομοϊδεατών τους, οι οποίοι μοιράζονταν τα υπάρχοντα τους ακολουθώντας κοινοβιακό τρόπο ζωής.

   Μετά τον θάνατο του, ο Πυθαγόρας περιβλήθηκε με τον θρύλο του υπεράνθρωπου που διέθετε μαγικές δυνάμεις, μπορούσε να ηρεμήσει τα νερά, να ελέγξει τους ανέμους, να μεταμορφωθεί σε ζώο, να βρίσκεται σε δυο μέρη ταυτόχρονα. Οι καλές δημόσιες σχέσεις που λέγαμε.. Η μαθηματική συνεισφορά των πυθαγορείων είναι αδιαμφισβήτητη.

 

           

Πέρα όμως από το διάσημο θεώρημα και την απόδειξη των άρρητων, τι άλλο πιστώνουμε στους πυθαγορείους; Τι εννοούσαν με την λέξη αριθμός; Χρησιμοποιούσαν τρεις ορισμούς. Αριθμός είναι ένα «περιορισμένο πλήθος», ένας «συνδυασμός ή συνάθροιση μονάδων» και «ποσότητα που ρέει». Στην πραγματικότητα, ο Πυθαγόρας φανταζόταν τους αριθμούς ως σχήματα, παριστάνοντας, για παράδειγμα τους τετραγώνους αριθμούς  με μικρά βότσαλα ή χαλίκια  που σχημάτιζαν ένα τετράγωνο. Πράγματι, ακόμη και σήμερα μιλάμε για τετράγωνα και κύβους των αριθμών ως δίκη του δημιουργία. Αναφέρει επίσης για αριθμούς επιμήκεις, τριγωνικούς, πυραμιδοειδείς, και ούτω καθεξής, στους όποιους οι ποσότητες ενός αριθμού αντιστοιχούν με τους αριθμούς των απαραιτήτων χαλικιών  προκειμένου να πραγματοποιηθούν τα εν λόγω σχήματα. Παραστατικοί αριθμοί. Αντιλαμβανόταν με ένα δικό του τρόπο-προσέξτε πριν από 2500 χρόνια- ότι ο κόσμος είναι ατομικός, με κάθε σώμα να αποτελείται από μόρια, που με την σειρά τους αποτελούνταν από άτομα, και ήταν διατεταγμένα σε συγκεκριμένα σχήματα, όπως εκείνος αντιλαμβανόταν τους αριθμούς. 

  Αν νομίζετε ότι πρόκειται για μια εντελώς μυστικιστική υπόσταση του σύμπαντος αυτό το είδος «γεωμετρικής» άλγεβρας υπήρξε ο πρόδρομος  της σημερινής συμβολικής άλγεβρας.(Δείτε και αυτό)

  Δεν είναι τυχαίο, ότι οι πυθαγόρειοι εγκαινίασαν και τον όρο μαθηματικά, από την ελληνική λέξη μάθημα που σημαίνει «επιστήμη» που δεν είναι τίποτα άλλο από την επισταμένη γνώση ενός αντικείμενου.(Η λέξη επιστήμη εν προκειμένω έχει την έννοια της φυσικής επιστήμης).

   Ο Πυθαγόρας θεωρούσε ότι κάθε αριθμός έφερε μια συμβολική ταυτότητα: το 1 είναι ο γεννήτορας όλων των αριθμών, καθώς κάθε αριθμός μπορεί να δημιουργηθεί από αυτόν μέσω διαδοχικών προσθέσεως, συνεπώς κατείχε ειδική θέση και δεν θεωρούνταν γνήσιος αριθμός. Το 2 και το 3 συμβόλιζαν τους θηλυκούς και τους αρσενικούς χαρακτήρες αντίστοιχα, ενώ το 5 εξέφρασε την ένωση τους. Ο αριθμός 4 συμβόλιζε τον νόμο, την τάξη και κατ΄επέκταση την δικαιοσύνη. Το 5 ήταν επίσης το πλήθος των κανονικών πολυέδρων-στερεών των όποιων οι έδρες είναι πανομοιότυπα κανονικά πολύγωνα: Το τετράεδρο(με τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα, ο κύβος (έξι τετράγωνα), το οκτάεδρο (οκτώ τρίγωνα) το δωδεκαέδρο (δώδεκα πεντάγωνα) και το εικοσάεδρο (είκοσι τρίγωνα) πέντε αυτά στερεά, σύμφωνα με τους πυθαγορείους, αντιπροσώπευαν τα πέντε στοιχεία από τα οποία συντίθεται το σύμπαν: Πυρ, γη, αέρα, ύδωρ και τον ουράνιο θόλο που τα περιβάλλει όλα. 

Συνεπώς, το 5 απέκτησε κατά κάποιο τρόπο ιερή θέση, και υπό την μορφή πενταγράμματος ή πεντάλφας, έγινε το σύμβολο των πυθαγορείων.

Πεντάγραμμα ή πεντάλφα ,σύμβολο των Πυθαγορείων μέχρι που ήρθε το Χόλυγουντ και το κηλίδωσε εντάσσοντας το ως σατανιστικό σύμβολο σε ταινίες τρόμου.

   

Ακόμα πιο ιερό από το 5 ήταν το 6,ο πρώτος τέλειος αριθμός.Θυμίζω ότι ένας αριθμός είναι τέλειος αν ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του (συμπεριλαμβανόμενου του 1,αποκλείοντας τον ίδιο τον αριθμό).Οι γνήσιοι διαιρέτες του 6  είναι οι 1,2,3 και εφόσον ισχύει 1+2+3=6 είναι προφανές ότι ο 6 είναι τέλειος. Οι επόμενοι τρεις τέλειοι αριθμοί είναι:

 28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8128=1+2+4+8+16+32+64+1276+254+508+1016+20132+4064

  Οι παραπάνω τέσσερις αριθμοί ήταν οι μόνοι τέλειοι αριθμοί τους οποίους γνώριζαν οι αρχαίοι Έλληνες, ο πέμπτος, ο αριθμός 33550336 βρέθηκε το 1456.Μέχρι σήμερα ,12 Απριλίου του 2015 έχουν βρεθεί  48 τέλειοι αριθμοί. Υπάρχει τέλειος περιττός αριθμός; Είναι πεπερασμένο ή άπειρο το πλήθος των τέλειων αριθμών; Δεν γνωρίζουμε.

  Ο μεγαλύτερος  τέλειος αριθμός είναι ο 2 ^{57885161 −1}× (2^57885161 − 1) ένα αριθμητικό τέρας 34850340 ψηφίων που ανακαλύφθηκε το 2013.

Τα πέντε κανονικά ή πλατωνικά Στερεά.

               

Περαιτέρω βιβλιογραφικές αναφορές:

-Η κλίκα των αριθμών,Claudi Alsina

-Το πυθαγόρειο θεώρημα,Eli Mayor

-History of mathematics,D. E. Smith

-Mathematical Circles,Howard Eves

-The story of geometry,from parallel lines to hyperspace,L.Mlodinow 
-Τα κεκρυμμενα, Τελης Λιβανιδης
-111 διαφορετικές αποδείξεις του πυθαγορείου θεωρήματος
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

• Ένα σχετικό ντοκιμαντέρ