«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Πέμπτη, 9 Απριλίου 2015

Τα πασχαλινά αυγά του Ασημάκη



                             

Προβληματάκι θεωρίας αριθμών πασχαλινού περιεχομένου...

    Ο Ασημάκης είναι ζαχαροπλάστης.Η ειδικότητα του,είναι τα σοκολατένια πασχαλινά αυγά μινιατούρες.Εν όψει του Πάσχα,για να προβάλει την δουλειά του,τοποθέτησε στην βιτρίνα του ζαχαροπλαστείου μια τεράστια γυάλινη προθήκη τετραγωνικού σχήματος που αποτελούνταν από 10000 κελιά.Σε κάθε κελί τοποθέτησε ένα αυγό.Σημειώνουμε ότι σε κάθε κελί χωρά μόνο ένα αυγό.Ο Ασημάκης,τελειομανής καθώς ήταν,μόλις είδε την γυάλινη προθήκη,σε κάθε κελί ένα αυγό, αποφάσισε να κάνει κάποιες αλλαγές.Στις αλλαγές που έκανε ακολούθησε απαρέγκλιτα τους εξής κανόνες:Επέλεγε μια γραμμή όποια ήθελε και από το πρώτο κελί μέχρι το τελευταίο της γραμμής έκανε το εξής:αν έβρισκε αυγό το αφαιρούσε,αν ήταν άδειο έβαζε ένα αυγό. Ομοίως έπραττε αν επέλεγε μια στήλη.Μπορούσε να επαναλάβει την παραπάνω διαδικασία όσες φορές ήθελε.Κάθε φορά όμως σε νέα γραμμή ή στήλη,δηλαδή ποτέ δεν επενέβαινε δυο φορές ή περισσότερες στην ίδια γραμμή ή στην ίδια στήλη.Όταν τέλειωσε μετά από αρκετή ώρα παρατήρησε το αποτέλεσμα και έμεινε ικανοποιημένος.
Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε ακολουθία κινήσεων και αν ακολούθησε ο Ασημάκης σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες η προθήκη δεν θα είχε ποτέ 2014 άδεια κελιά. 

                                                
  
Η λύση στα σχόλια

13 σχόλια:













  1. Αν ο Ασημάκης εφάρμοζε τις παραπάνω κινήσεις σε λ στήλες και μ γραμμές τότε το πλήθος των άδειων κελιών θα είναι 100λ-2μλ+100μ,θα πρέπει να ισχύει:
    100λ-2μλ+100μ =2014 ή 50λ-μλ+50μ =1007 ή -50λ+μλ-50μ+ 2500=2500-1007 ή -50λ+ 2500+μλ-50μ=1493 ή 50(-λ+50)+μ(λ-50)=1493 ή -50(λ-50)+μ(λ-50)=1493 ή (λ-50)(μ-50)=1493
    παρατηρουμε, οτι ο 1493 είναι πρώτος αριθμός.Η εξίσωση δεν έχει λύσεις φυσικούς αριθμούς.
    Δεν υπάρχει ακολουθία κινήσεων που θα οδηγήσει στην κατάσταση η προθήκη θα έχει 2014 άδεια κελιά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Έπρεπε να διευκρινίζει ότι οι αλλαγές γίνονται αρχίζοντας με γεμάτο κουτί.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Γιατί είναι απαραίτητο να αρχίζει από γεμάτο κουτί;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Εαν η προσθηκη αρχίζει με εντελως τυχαιο αριθμο αυγων που ομως δεν εχει προκύψει απο τον αλγόριθμο που δ'ινεται αλλα απο τυχαιες αφαιρέσεις αυγων απο το γεματο κουτι μεσω πωλησεων κτλ (οπως φαινεται να περιγραφει το προβλημα.) Τοτε δεν γινεται να εκφρασουμε τον αριθμο των άδειων θεσεων σε συναρτηση με τον αριθμο των κινησεων που κανουμε. (εφοσον η αρχικη κατανομη ειναι τελειως τυχαια ξαναλεω)..

      Διαγραφή
  4. Μα η αρχική κατανομή δεν είναι τυχαία στην εκφώνηση γραφεί .."Σε κάθε κελί τοποθέτησε ένα αυγό....." άρα αρχικά κάθε κελί της βιτρίνας έχει ένα αυγό και κατόπιν αρχίζει η διαδικασία. Φαντάσου μια σκακιέρα 100 χ100 ότι αρχικά σε καθένα από τα κελιά βάζουμε ένα + .Επιτρεπτές είναι μόνο οι κινήσεις:
    -αλλαγή πρόσημου σε μια γραμμή δηλαδή κάθε "+" αλλάζει σε "-" και κάθε "-" αλλάζει σε "+"
    -αλλαγή πρόσημου σε μια στήλη δηλαδή κάθε "+" αλλάζει σε "-" και κάθε "-" αλλάζει σε "+"
    τότε ουσιαστικά αποδεικνύουμε ότι δεν μπορούμε να πάρουμε 2014 "-"

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. εκει που λεει η εκφωνηση "κάθε πρωί λαμβάνοντας υπόψη τα αυγά που πουλήθηκαν, τα νέα που κατασκεύαζε και αυτά που θα δώριζε σε γνωστούς και φίλους άλλαζε την μορφή της γυάλινης προθήκης ακολουθώντας απαρέγκλιτα τους εξής κανόνες" μπορει κανεις ευκολα να καταλαβει πως η προσθηκη αλλαζει καθε πρωι εχοντας ομως τα αυγα μεσα με τυχαια διαταξη... δηλαδη δεν διευκρινίζει πως καθε φορα που περνει αυγα απο την προσθηκη(ειτε για να πουλήσει ειτε για να δώσει) το κανει χρησιμοποιώντας τον αλγοριθμο αυτο... η εκφωνηση λεει πως ανακατανεμει τα αυγα καθε πρωι συμφωνα με αυτον τον αλγοριθμο. Δεν διευκρινιζεται τι γίνεται οταν πουλιουνται η γενικα αφαιρουνται αυγα κατα την διαρκεια της ημερας. Για αυτο σου ειπα πως θα μπορούσε να ειναι σε τυχαίο μοτίβο τα αυγα ετσι οπως ειναι γραμμένη η εκφώνηση....

      Διαγραφή
  5. Η ένσταση σου, είναι ότι δεν είναι σαφές ότι κάθε μέρα συνεχίζει την αναδιανομή από εκεί που σταμάτησε την προηγούμενη.Τροποποίησα την εκφώνηση.Νομίζω οτι τώρα ειναι εντάξει.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Τωρα ειναι εντελως κατατοπιστικό. Ευχαριστώ πολύ που εκανες την αλλαγή!

      Διαγραφή
  6. Έχει σημασία,να υπάρχει κοινή ερμηνεία της εκφώνησης απο οποιοδήποτε την διαβάζει

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Συγχαρητήρια για τα φυλλάδια σας ,της γ΄λυκείου και γενικότερα για τις λοιπές εργασίες, είναι πραγματικά ουσιαστικές. Καλή συνέχεια και Καλή Ανάσταση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.Κάλο Πάσχα.

      Διαγραφή
  8. Ποια είναι η πηγή του προβλήματος;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ειναι παραλλαγμένο διαγωνιστικό πρόβλημα απο Asian Pacific MO

      Διαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...