Αριθμοί Μερσέν και ένα κυριακάτικο πρόβλημα.

 «Η αιωνιότητα δεν είναι αρκετή για να διαπιστωθεί αν ένας εικοσαψήφιος  αριθμός είναι πρώτος!!»                                                                                                    

                                                                      Μαρέν Μερσέν  (1588 –1648)                       

      Ο Μαρέν Μερσέν ήταν Γάλλος μοναχός του τάγματος των Ελαχίστων που έζησε τον 17⁰ αιώνα στο Παρίσι και ήταν παράλληλα παθιασμένος μαθηματικός.Μελέτησε αριθμούς της μορφής  2^p-1 όπου p είναι πρώτος αριθμός  και διαπίστωσε ότι κάποιοι από αυτούς είναι  πρώτοι αριθμοί. Έκτοτε φέρουν το όνομα του σαν πρώτοι του Μερσέν με το συμβολισμό Μ_p. Ειδικότερα, ο Μερσέν στο έργο του Cogitata Physica-Mathematica (1644) είχε διατυπώσει την εικασία ότι οι αριθμοί της μορφής  M_p=2^p-1 είναι πρώτοι για                                           

                                            p = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 .

Ο Μερσέν όμως είχε κάνει πέντε λάθη.Εσφαλμένα,διατύπωσε ότι οι αριθμοί και M₆₇ ,          M ₂₅₇  είναι πρώτοι  ενώ απέκλεισε τους αριθμούς M₆₁ ,Μ₈₉,Μ₁₀₇.Μπορούμε να τον ψέξουμε; Μπορούσε να υπολογίσει στο χέρι αριθμούς όπως  το   2¹³-1=8191  αλλά  το 2²⁵⁷-1; Πως κατόρθωσε να υπολογίσει με το χέρι έναν αριθμό με 77 ψηφία και να ισχυρίζεται ότι είναι πρώτος.Γνώριζε κάποιο μαθηματικό τύπο; Μάντευε; Το μέλλον τον διέψευσε καθώς αποδείχτηκε  ότι:  

2²⁵⁷-1=  535006138814359 (15 ψηφία) × 1155685395246619182673033 (25 ψηφία) ×
374550598501810936581776630096313181393 (39 ψηφία)

Μαρέν Μερσέν (1588 –1648)

Ειδικά για την απόδειξη ότι ο αριθμός M₆₇ = 2⁶⁷-1  δεν είναι πρώτος υπάρχει μια ενδιαφέρουσα ιστορία. Μια ιστορία που αφορά την παραγοντοποιήση και τα απογεύματα της Κυριακής.

F. N.Cole (1861-1926)

  Εν έτη 1903,ο Φρανκ Νέλσον Κόουλ, καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης σε  ένα συνέδριο της Αμερικανικής μαθηματικής Εταιρείας  επρόκειτο να δώσει μια διάλεξη με τον πρωτότυπο τίτλο « Περί παραγοντοποίησης πολύ μεγάλων αριθμών». Όταν έφτασε η στιγμή της διάλεξης ,δίχως να πει λέξη ανέβηκε στον πίνακα υπολόγισε την  δύναμη  2⁶⁷ αφαίρεσε μια μονάδα  και έγραψε το αποτέλεσμα:

             2⁶⁷-1  =147573952589676412927
 Στην συνέχεια εκτέλεσε τον παρακάτω πολλαπλασιασμό:         
 193707721x761838257287=147573952589676412927
Το αποτέλεσμα του γινομένου ήταν το ίδιο .Τελικά έγραψε στον πίνακα:
               2⁶⁷-1 =193707721x761838257287
  Το ακροατήριο σηκώθηκε όρθιο και χειροκρότησε.Από το 1876 ήταν γνωστό ότι ο αριθμός 2⁶⁷-1,ένας αριθμός του Μερσέν με 20 ψηφία,δεν ήταν πρώτος αλλά γινόμενο δυο μικρότερων πρώτων. Κανείς όμως δεν ήξερε ποιων.Όταν ρωτήθηκε ο Κόουλ πως κατάφερε να βρει τους αριθμούς, αυτός απάντησε ότι επί τρία χρόνια κάθε κυριακάτικο απόγευμα εργαζόταν στο πρόβλημα.

Δείτε την παρακάτω λίστα:

 

p	Μp=2p-1	Χαρακτηρισμός
2	22-1=3	Πρώτος αριθμός
3	23-1=7	Πρώτος αριθμός
5	25-1=31	Πρώτος αριθμός
7	27-1=127	Πρώτος αριθμός
11	211-1=2047	Σύνθετος αριθμός
13	213-1=8191	Πρώτος αριθμός
17	217-1=131071	Πρώτος αριθμός

  

 Οι συγκεκριμένοι αριθμοί είναι φίρμες στην θεωρία αριθμών καθώς μπορούν να γίνουν πολύ μεγάλοι. Αυτοί που έχουν πάνω από χίλια ψηφία ονομάζονται Τιτάνιοι πρώτοι. πάνω από δέκα χιλιάδες ψηφία  Γιγάντιοι πρώτοι, ενώ αυτοί που έχουν περισσότερα από ένα εκατομμύριο ψηφία ονομάζονται Μεγαπρώτοι.Για την ακρίβεια οι δέκα μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι είναι όλοι τους πρώτοι του Μερσεν.

  Ο Μαρέν Μερσέν υπήρξε ένα κομβικό πρόσωπο   για την διάδοση των επιστημονικών ιδεών του 17^ου αιώνα. Πέρασε τα τελευταία τριάντα χρόνια της ζωής του  στην μονή των Ελαχίστων κοντά στην Πλας Ρουαγιάλ στο Παρίσι. Αντίθετα από ότι θα περίμενε κανείς  το μικρό κελί του αποτέλεσε νευραλγικό σημείο για την διάδοση των μαθηματικών ανακαλύψεων  της εποχής του. Έλεγαν ότι  το να πληροφορεί κάποιος τον Μερσέν  για κάποια επιστημονική ανακάλυψη ήταν το ίδιο με τον το δημοσιεύει σε ολόκληρη την Ευρώπη. Φανταστείτε ότι όταν πέθανε βρέθηκαν στο κελί του έγγραφα που αποδεικνύουν ότι διατηρούσε 78 γραμμές αλληλογραφίας  και άλλες τόσες έρευνας με τα σημαντικότερα επιστημονικά ονόματα της Ευρώπης. Ο Καρτέσιος, ο Τορικέλι, ο Πασκάλ, ο Φερμά και τόσοι άλλοι. Ένας άτυπος κύκλος διανοουμένων και επιστημόνων που καθόριζαν τις εξελίξεις στο Ευρωπαϊκό επιστημονικό στερέωμα.Προς τιμή του Μερσέν ένα γνωστό διαδικτυακό πρόγραμμα εύρεσης πρώτων αριθμών  φέρει το όνομα του.

http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/02/blog-post_4.html