Ο κακόβουλος ταχυδρόμος,η Αλίκη,ο Βρασίδας και μια εμπορική πατέντα με αριθμούς...

                           "Αν ζούσε σήμερα ο Gauss,θα ήταν χάκερ."
                                                                                   
                                                                                      Π.Σάρνακ

   Μαζεύω λίγο τις σημειώσεις στην Ανάπτυξη εφαρμογών για την καλοκαιρινή προετοιμασία και αναρωτιέμαι,γιατί να είναι το μοναδικό μάθημα που οι μαθητές βλέπουν έστω και υποτυπωδώς στοιχεία λογικής (σύζευξη,διάζευξη,άρνηση),ισουπόλοιπους αριθμούς (modulo),πίνακες από γραμμική άλγεβρα μέχρι συνδυαστική.Για παράδειγμα, στο τετράδιο του μαθητή υπάρχει ως άσκηση ο τύπος των συνδυασμών ν ανά κ στοιχείων (ο τύπος του Λόττο) ή στην δομή επανάληψης ο υπολογισμός παραγοντικού.Στο ελληνικό σχολικό αναλυτικό πρόγραμμα μόνο ανάλυση όπως το γνωστό ραδιοφωνικό σλόγκαν με το πάλαι πότε κραταιό πολιτικό κόμμα. Έτσι ανεβάζω μια all time classic εφαρμογή της αριθμητικής των υπολοίπων στην κρυπτογραφία.

  Η Αλίκη και ο Βρασίδας είναι φίλοι και συνεργάτες.Η Αλίκη ζει στο χωριό Κάτω Ραχούλα και ο Βρασίδας στο χωριό άνω Ραχούλα. Επικοινωνούν με επιστολές μέσω ταχυδρομείου ,όμως, έχουν την υποψία  ότι ο ταχυδρόμος ανοίγει τα γράμματα και τα διαβάζει. Ο Βρασίδας αρχικά σκέφτηκε να στέλνει τα γράμματα σε ένα κουτί κλειδωμένο με ένα λουκέτο.Πως όμως θα στείλει το κλειδί χωρίς να το πάρει ο  κακόβουλος ταχυδρόμος ανοίξει το κουτί και διαβάσει τα γράμματα;

   Η Αλίκη είχε μια λαμπρή ιδέα ,συναντήθηκαν με το Βρασίδα και του εξήγησε το σχέδιο της. Την επόμενη φορά που επρόκειτο να στείλει επιστολές στον Βρασίδα έκανε το εξής: Έβαλε τα γράμματα μέσα σε ένα κουτί και το κλείδωσε με ένα λουκέτο και το ταχυδρόμησε στον Βρασίδα. Ο Βρασίδας έλαβε το κουτί και το κλείδωσε επίσης με ένα δικό του λουκέτο και το έστειλε με το ταχυδρομείο πίσω στην Αλίκη. Η Άλικη έλαβε το κουτί που τώρα πια είναι κλειδωμένο με δυο λουκέτα. Αφαιρει το δικό της και το στέλνει πίσω –πάντα ταχυδρομικά- στον Βρασίδα.Ο Βρασίδας αφαιρει το δικό του λουκέτο ,ανοίγει το κουτί και διαβάζει τα γράμματα.Παρατηρήστε ότι σε κάθε αποστολή το κουτί ήταν κλειδωμένο.

  Η διαδικασία που μόλις περιέγραψα είναι ένα παλιός γρίφος λογικής που αποτέλεσε την έμπνευση  για τρεις αμερικανούς W. Diffie, M..Hellman και R.Merkle, το 1976 ,να σχεδιάσουν ένα κρυπτογραφικό σύστημα  στο οποίο το μυστικό  που πρέπει να διαφυλαχτεί ασφαλίζεται από δυο διαφορετικά κλειδιά τα οποία δεν χρειάζεται να τα ανταλλάξουν αποστολέας και παραλήπτης.

 Η διαδικασία που εφεύραν οι τρεις αμερικανοί  βασίζεται στην μοδιακή αριθμητική, ένα είδος αριθμητικής που δουλεύει με τα υπόλοιπα διαιρέσεων με ένα συγκεκριμένο αριθμό που λέγεται modulo(μέτρο). Φανταστείτε  ένα ρολόι,  αν δείχνει 10:00 τότε μετά από 5 ώρες τι ώρα θα δείξει; Η απάντηση προφανώς  είναι 3:00  που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του  10+5=15  με το 12.Στα μαθηματικά  συμβολίζεται 10+15 ≡3(mod12),και διαβάζεται οι αριθμοί  15 ,3 είναι ισουπόλοιποι  modulo12. Τι είναι το 12; Πρακτικά είναι  ο αριθμός που αρχίζει το μέτρημα από την αρχή.

Για να περιγράψουμε τώρα την διαδικασία  της μετάδοσης του μηνύματος από την Αλίκη στον Βρασίδα.  

Η Αλίκη και ο Βρασίδας συμφωνούν να χρησιμοποιήσουν τους αριθμούς  7 και 11,ώστε να υπολογίσουν  το αποτέλεσμα  7^x(mod10)

Δεν υπάρχει λόγος να κρατήσουν αυτήν την πληροφορία κρυφή.

 

  Η Αλίκη και ο Βρασίδας καταλήγουν στο ίδιο αριθμό  9  χωρίς ,καν να αποκαλύψουν ο ένας στον άλλο τους μυστικούς τους αριθμούς. Η επανάσταση στην μέθοδο είναι ότι Βρασίδας και η Αλίκη μπορούν να μεταδώσουν το μήνυμα (το 9)  χωρίς να είναι απαραίτητο να συναντηθούν για να ανταλλάξουν τα κρυφά τους κλειδιά  το 3 και το 6 . Επίσης δημοσιοποιώντας τους αριθμούς 7 και 11(δημόσια κλειδιά) δεν κινδυνεύουν να αποκαλυφθούν τα κρυφά τους κλειδιά ,ούτε και το μήνυμα. Πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη ,ότι οποιοδήποτε μήνυμα όσο μεγάλο και αν είναι μπορεί να κωδικοποιηθεί σε έναν αριθμό –εντάξει, έναν μεγάλο αριθμό- και να γίνει με ασφάλεια η μετάδοση του.Εδώ οι φίρμες ως κλειδιά είναι οι πολύ μεγάλοι πρώτοι αριθμοί. 

Ευτράπελο.Λόγω της σπουδαιότητας τους στους αλγορίθμους κρυπτογραφίας  οι πρώτοι αριθμοί απέκτησαν εμπορική αξία.Το 1994, ένας Αμερικανός ο Roger Schlafly κατοχύρωσε σαν  ευρεσιτεχνία  με αριθμό πρωτοκόλλου  5373560  δυο πρώτους αριθμούς.Οι αριθμοί  αυτοί ήταν:

7.994.412097716.110.548.127.211.733.331.600.522.933.

776.757.046.707.649.963.673.962.686.200.838.432.950.239.

103.981.070.728.369.599.816.314.646.482.720.706.826.018.

360.181.196.843.154.224.748.382.211.019

Και

103.864.912.054.654.272.074.839.999.186.936.834.171.066.

194.620.139.675.036.534.769.616.693.904.589.884.931.513.

925.858.861.749.077.079.643.532.169.815.633.834.450.952.

832.125.258.174.795.234.553.238.258.030.222.937.772.878.

346.831.083.983.624.739.712.536.721.932.666.180.751.292.

001.388.772.039.413.446.493.758.317.344.413.531.957.900.

028.443.184.983.069.698.882.035.800.332.668.237.985.846.

170.997.572.388.089

Υποτίθεται τώρα, ότι κανείς άλλος δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει αυτούς τους αριθμούς  χωρίς την άδεια του Schlafly …..

   Για τον φιλομαθή αναγνώστη που θέλει να μάθει περισσότερα για την μέθοδο το πλέον κατάλληλο βιβλίο είναι Κώδικες και μυστικά ( επισης πολυ καλο παραλιακο αναγνωσμα)του Simοn Singh  που έχει μεταφραστεί από τις εκδόσεις Τραυλός.