Θεώρημα Moessner,συνάρτηση Hollowood,τρίγωνο του Πασκάλ και λοιπά αξιοπερίεργα μαθηματικά μεζεδάκια

 Aξιοπερίεργα μαθηματικά μεζεδάκια...

 Θεώρημα Moessner

   Γράψτε σε μια γραμμή τους  θετικούς ακεραίους και υπογραμμίστε κάθε  πέμπτο αριθμό (τα πολλαπλάσια του 5).Τώρα αγνοήστε τους υπογραμμισμένους αριθμούς και υπολογίστε τα μερικά αθροίσματα ανάμεσα τους, τοποθετήστε τα αθροίσματα στην δεύτερη γραμμή το καθένα ακριβώς κάτω από το τελευταίο αριθμό που προστέθηκε.

   Τώρα στην δεύτερη γραμμή υπογραμμίστε κάθε 4^ο αριθμό ,αγνοήστε τους υπογραμμισμένους αριθμούς και  υπολογίστε τα μερικά αθροίσματα ανάμεσα τους,τοποθετήστε τα αθροίσματα στην δεύτερη γραμμή το καθένα ακριβώς κάτω από το τελευταίο αριθμό που προστέθηκε.

  Επαναλάβετε,το αποτέλεσμα θα είναι στην 5^η γραμμή  αριθμοί που είναι τέλειες πέμπτες δυνάμεις 1⁵, 2⁵, 3⁵, 4⁵, 5⁵ …

1        2       3       4       5      6      7      8      9      10     11     12     13     14     15     16……

1       3        6      10             16    23     31    40             51     63     76     90               106…..

1       4       10                      26    49     80                   131     194   270                       376…..

1       5                                 31    80                            211    405                                 781…..

1                                          32                                    243                                         1024…..

Αν αρχικά είχαμε αγνοήσει κάθε τέταρτο αριθμό μετά το πέρασμα της διαδικασίας θα είχαμε καταλήξει  σε αριθμούς που είναι τέλειες τέταρτες δυνάμεις.Γενικά:

  Για κάθε θετικό ακέραιο  κ>1  αν κάθε κ-στος αριθμός αγνοηθεί στην γραμμή 1,κάθε (κ-1)-στος αριθμός αγνοηθεί στην γραμμή 2  και γενικά κάθε (κ+1-i)-στος αριθμός αγνοηθεί  στην γραμμή i, τότε στην κ-οστη γραμμή  των μερικών αθροισμάτων  θα έχουμε τέλειες δυνάμεις τάξης κ :1^k, 2^k, 3^k …

   Το θεώρημα ανακαλύφθηκε το 1951 από τον Alfred Moessner μαθηματικό και  αρθρογράφο του περιοδικού ψυχαγωγικών μαθηματικών  Scripta Mathematica.

Συνάρτηση Hollowood

 

  Μαθηματικό αξιοπερίεργο από τον Αμερικανό μαθητή λυκείου Derek Hollowood ,ο οποίος δημιούργησε μια συνάρτηση  που οι ακέραιες τιμές της από το -10 μέχρι το 10 παρουσιάζουν κομψή συμμετρία.

                                                         h(x)=(10^(x+1)-9x-10)/81                        

h(-10) = 0.987654321

h(-9)  =  0.87654321

h(-8)  =   0.7654321

h(-7)  =    0.654321

h(-6)  =     0.54321

h(-5)  =      0.4321

h(-4)  =       0.321

h(-3)  =        0.21

h(-2)  =         0.1

h(-1)  =           0

h(0)   =           0

h(1)   =           1

h(2)   =           12

h(3)   =           123

h(4)   =           1234

h(5)   =           12345

h(6)   =           123456

h(7)   =           1234567

h(8)   =           12345678

h(9)   =           123456789

Tο τρίγωνο του Πασκάλ και μια αξιοσημείωτη σύνδεση του με τους πρώτους αριθμούς.

  Το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μια εντυπωσιακή διάταξη αριθμών.Μια πυραμιδοειδής διάταξη που στην πρώτη γραμμή έχει το 1 και κάθε επομένη γραμμή δημιουργείται από τον εξής απλό κανόνα:στα άκρα έχει μονάδες και κάθε αριθμός στο εσωτερικό της γραμμής προκύπτει από το άθροισμα  των ακριβώς δυο από πάνω αριθμών.

              

                                                                 1

                                                              1     1

                                                           1    2     1

                                                        1    3     3     1

                                                     1    4     6     4     1

                                                    

                                                  1   5     10   10    5     1

      

  Το 1972,οι μαθηματικοί Χένρι Μαν and Ντάνιελ Σανκς ανακάλυψαν μια αξιοσημείωτη σύνδεση μεταξύ του τριγώνου του Πασκάλ και των πρώτων αριθμών.

Αν τοποθετήσουμε σε μια ορθογώνια διάταξη γραμμών και στηλών  τις γραμμές του τριγώνου κατά τέτοιο τρόπο ώστε η γραμμή n  να αρχίζει από την στήλη 2n.

Δείτε το σχήμα.             

   

 

 Τότε παρατηρούμε ότι ο αριθμός στήλης είναι πρώτος όταν κάθε αριθμός της στήλης έχει την ιδιότητα να διαιρείται από τον αριθμό της γραμμής στην οποία βρίσκεται. Για παράδειγμα, στο σχήμα  δείτε την στήλη 13 έχει  δυο αριθμούς το 10  που διαιρείται από το  5 (βρίσκεται στην 5^η γραμμή) και το 6 που διαιρείται επίσης από το 6 (βρίσκεται στην 6^η γραμμή)

(Henry B. Mann and Daniel Shanks, “A Necessary and Sufficient Condition for Primality, and Its Source,” Journal of Combinatorial Theory, Series A 13:1 [1972])