G.Cantor,ο μαθηματικός που δάμασε το άπειρο με το μέτρημα του τσοπάνη...

    "Είναι γνωστό ότι υπάρχει άπειρο πλήθος κόσμων, μόνο και μόνο επειδή υπάρχει  άπειρος χώρος για να είναι μέσα.Ωστόσο,δεν κατοικείται ο καθένας από αυτούς.Ως εκ τούτου,πρέπει να υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός κατοικημένων κόσμων.Είναι γνωστό ότι κάθε  αριθμός όταν διαιρείται με το άπειρο είναι κοντά στο μηδέν,έτσι ώστε ο μέσος όρος πληθυσμού  όλων των πλανητών στο Σύμπαν μπορεί να λεχθεί ότι είναι μηδέν.Συνεπώς, ο πληθυσμός ολόκληρου του σύμπαντος είναι επίσης μηδέν άρα τα άτομα που ενδεχομένως συναντήσετε δεν υφίστανται είναι απλώς τα προϊόντα μιας  διαταραγμένης φαντασίας." 

                                              Douglas Adams, Το εστιατόριο στο τέλος του κόσμου.

  Πόσο μεγάλο είναι το άπειρο;Μια προφανής,σύντομη και λίγο προβοκατόρικη απάντηση από τον Γάλλο σατυρικό συγγραφέα  A.Allais “…είναι πολύ μεγάλο  και μακρύ, ειδικά προς το τέλος”.Είναι κάτι που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος θα σπεύσει να πει κάποιος-η λέξη  κάτι σε μια απόπειρα ορισμού προκαλεί αναφυλαξία στους μαθηματικούς.Η ένσταση θα έρθει αμέσως, καθώς ένας κύκλος δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος παρ όλα αυτά  δεν είναι άπειρος.Μπορούμε, καλοπροαίρετα, να φαντασθούμε μια ευθεία γραμμή με αφετηρία το μηδέν και πάνω της σημειωμένους αριθμούς  που να αυξάνονται προς τα δεξιά ολοένα και περισσότερο με την γραμμή να εκτείνεται απεριόριστα.Διατρέχουμε την ευθεία και για κάθε αριθμό που βλέπουμε όσο μεγάλος και αν είναι μπορούμε δεξιότερα να εντοπίσουμε ένα μεγαλύτερο. Ας πούμε, τον αριθμό 2^1000000  τότε υπάρχει ένας μεγαλύτερος ο 2^1000000+1.Αυτη είναι διαισθητικά, η ιδέα μας για το άπειρο ,αριθμοί που αυξάνονται συνεχώς στο διηνεκές. Στα μαθηματικά όμως η χρήση του άπειρου γίνεται  με φειδώ και ακρίβεια. Σταχυολογώ επιλεκτικά ιστορικές αναφορές σε μια έννοια που προκαλεί ιλίγγους.

  

Ολίγη από ιστορία

  Ο Αριστοτέλης, ο Σταγειρίτης φιλόσοφος είχε διατυπώσει τους σχετικούς προβληματισμούς του για το άπειρο.Παρατήρησε ότι ο χρόνος  δεν έχει αρχή ή τέλος ,οπότε, διαισθανόταν  ότι η αφηρημένη έννοια του απείρου  μπορούσε  να είναι κάτι υπαρκτό.Το έβλεπε όμως περισσότερο δυνητικά παρά σαν δεδομένη πραγματικότητα. Εξηγούμαι,φανταστείτε  ότι περιγράφετε σε κάποιον τις επερχόμενες εκλογές  στην Ελλάδα το Μάιο.Το μόνο που μπορείτε να κάνετε είναι τις περιγράψετε δυνητικά,πιθανότατα  θα πραγματοποιηθούν αλλά δεν λαμβάνουν χώρα την ίδια εκείνη στιγμή.Έτσι και ο Αριστοτέλης  θεωρούσε  ότι συμβαίνει το ίδιο για το άπειρο, μπορεί δυνητικά να υπάρχει,αλλά δεν υπάρχει την δεδομένη στιγμή που συζητάμε.Το εν δυνάμει άπειρο.Τίποτα στον κόσμο γύρω μας δεν είναι δυνατόν να έχει άπειρο μέγεθος οπότε είναι βέβαιο ότι δεν θα έρθουμε πρόσωπο με πρόσωπο με το άπειρο.Εντάξει,εξαιρώ κάποιες δηλώσεις πολιτικών που η βλακεία τους εξακοντίζεται στο διηνεκές.Επανέρχομαι, όμως στην τάξη και σημειώνω ότι η αντίληψη περί δυνητικού άπειρου παγιώθηκε τα κατοπινά χρόνια και την ενστερνίστηκαν  οι πατέρες της δυτικής εκκλησιάς μιας και η αριστοτέλεια φιλοσοφία ταίριαζε γάντι  στο δόγμα τους. Θεωρούσαν τον Θεό άπειρο και  την αιώνια  αέναη και άπειρη  ανθρωπινή ψυχή την ανταμοιβή του ενάρετου σε αντίθεση με την ανυπαρξία που περιέβαλε τον άπιστο.

   Είναι γνωστό ότι οι πατέρες της δυτικής εκκλησίας κατά το μεσαίωνα  δεν επέτρεπαν το μαθηματικό χειρισμό της έννοιας αφού αποτελούσε ιδιότητα του Θεού.Ο Άγιος Αυγουστίνος έλεγε:
                                     "Μόνο ο Θεός και οι σκέψεις του είναι άπειρα."

 Προξενεί ωστόσο εντύπωση το γεγονός  πως οι πατέρες της εκκλησίας  αρνήθηκαν στο Θεό την δυνατότητα να δημιουργήσει το άπειρο. Στην Summa Theologiae, o άγιος Θωμάς ο Ακινάτης παραδέχεται πως μολονότι ο Θεός είναι παντοδύναμος και απεριόριστος , δεν μπορεί να δημιουργήσει απεριόριστα πράγματα. 

 

                           Μια ιδέα περί άπειρων κόσμων ,100% θανατηφόρα!!

 Το 1600, ο φιλόσοφος Giordano Bruno (1648-1600)διέπραξε ένα  «αμάρτημα σκέψης» όταν φαντάστηκε πως ζούμε μέσα σε ένα άπειρο διάστημα  που κατοικείται από  άπειρους κόσμους. Στην συνέχεια  έκανε το λάθος να μιλήσει  για αυτό δημόσια ,γεγονός που τον οδήγησε στην πυρά .Προηγουμένως , παρέμεινε φυλακισμένος  για εφτά  χρόνια , στην διάρκεια των οποίων  υπέστη κάθε είδους προσβολές και βασανιστήρια , γεγονός που αποδεικνύει δυο πράγματα: από την μια πλευρά , την απόλυτη σιγουριά  του Giordano  για την ιδέα περί άπειρου και  την πίστη του στην ελευθερία της σκέψης, και από την άλλη πλευρά το κίνδυνο που σήμαινε  η αντίθεση στο πολιτισμικό περιβάλλον σε κάποιες ιστορικές περιόδους.Η ειρωνεία είναι ότι η επιστημονική κοινότητα συμφωνεί ότι υπάρχει μια μεγάλη πιθανότητα το σύμπαν να είναι πεπερασμένο.Το Βατικανό το 2012 παρουσίασε στο διαδίκτυο μυστικά έγγραφα της δίκης στην επέτειο του θανάτου του ( βλέπε φωτογραφία)

 Στις πεποιθήσεις αυτές που οδήγησαν τον Bruno στην πυρά  παρατηρεί ο G. Leibniz στα δοκίμια θεοδικίας του:

"Ανάμεσα σε απείρους πιθανούς κόσμους,αυτός είναι καλύτερος.Διαφορετικά ο Θεός  δεν θα είχε αποφασίσει να δημιουργήσει έναν μόνο και εδώ βρίσκεται η πηγή της ευτυχίας.» 

                                                                    G.Leibniz        Δοκίμια Θεοδικίας.

Σχολιάζει ο Bertrand Russell  την παραπάνω άποψη του Leibniz  ως εξής :

"Ο κόσμος μας γνωρίζει το κακό, υπάρχει όμως πολύ περισσότερο  κάλο από ότι κακό  στον κόσμο αυτό και σε κάθε άλλον κόσμο .Είναι  επομένως ο καλύτερος από τους δυνατούς κόσμους  και το κακό που υπάρχει  σε αυτόν δεν επιτρέπει  σε καμιά περίπτωση  να αμφισβητηθεί η καλοσύνη του θεού. Προφανώς αυτό το επιχείρημα ικανοποιούσε  απολύτως την βασίλισσα της Πρωσίας .Οι υποτελείς της  εξακολούθησαν να υπομένουν το κακό  ενώ εκείνη χαιρόταν το καλό, και ήταν τόσο καθησυχαστικό  ένας μεγάλος φιλόσοφος να την διαβεβαιώνει πως ήταν δίκαιο και θεμιτό."

                                   Καλά η φιλοσοφία, μαθηματικά όμως; 

  Όμως ανεξάρτητα από την θεολογική η φιλοσοφική του σκοπιά  η έννοια του εν δυνάμει άπειρου επιβίωσε μέχρι τον 19^ο αιώνα,ωσότου ένας Γερμανός μαθηματικός, o G.Cantor έδωσε μια εντελώς διαφορετική οπτική  και  έκανε το πρώτο βήμα να ορίσει το εν ενεργεία άπειρο, το υπαρκτό άπειρο. Δημιούργησε μια θεωρία που αποτέλεσε ακρογωνιαίο λίθο για τα μοντέρνα μαθηματικά.Η βασική ιδέα που χρησιμοποίησε είναι εξαιρετικά απλή αλλά πανίσχυρη.Το.. μέτρημα.Μια έννοια του μετρήματος απαλλαγμένη ακόμα και από την δέσμευση ενός αριθμητικού συστήματος πολύ πιο πρωτόγονη ακόμα και από το μέτρημα που χρησιμοποιούμε στις καθημερινές συναλλαγές μας. Ας το δούμε λίγο.

  Φανταστείτε ότι έχουμε ένα βοσκό που δεν γνωρίζει καν τι είναι αριθμός .Πως θα μπορούσε να γνωρίζει πόσα πρόβατα έχει; Πως θα ελέγχει κάθε βράδυ που θα κλείνει το κοπάδι του  στην στάνη-δίνω ένα βουκολικό χρώμα στην περιγραφή-αν λείπει κάποιο ή κάποια πρόβατα;Μπορεί να κάνει κάτι πολύ απλό, να πάρει αρκετά  χαλίκια και ένα πουγκί  και καθώς θα βγαίνουν τα πρόβατα από την στάνη  για κάθε πρόβατο που βγαίνει θα βάζει ένα χαλίκι στο πουγκί ,όταν θα βγουν όλα τα πρόβατα είναι σίγουρος ότι όσα είναι τα πρόβατα τόσα θα είναι και τα χαλίκια στο πουγκί .Προσέξτε ο βοσκός δεν ξέρει καν τι είναι  αριθμός μόνο ο λογιστής του ξέρει  πόσα πρόβατα έχει!!!. Ο βοσκός μπορούμε να πούμε  λίγο ποιο τεχνικά , ότι έθεσε κάθε πρόβατο σε μια ένα προς ένα αντιστοιχία με  ένα χαλίκι. Η μέθοδος  του βοσκού θα γινόταν και η Λυδία λίθος του Cantor.

 

 

Η λέξη υπολογίζω (calculate) προέρχεται από το λατινικό calculus που σημαίνει χαλίκι(callilou)

 

  Η θεωρία που εισάγει ο Cantor αφορά ως επί το πλείστον σύνολα. Ο ακριβής ορισμός του συνόλου σπαζοκεφαλιάζει τους μαθηματικούς αιώνες τώρα, εμείς όμως θα δεχτούμε ότι το σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα .Για παράδειγμα το σύνολο των θετικών  φυσικών αριθμών:

                                                 Ν={1,2,3,4,….}

Εφόσον όμως αναφερθήκαμε σε σύνολα ας δούμε τι είναι υποσύνολο ενός συνόλου. Υποσύνολο ενός συνόλου Α είναι ένα σύνολο που αποτελείται  μόνο από στοιχεία του   Α.

Για παράδειγμα το σύνολο των θετικών αρτίων

Α={2,4,6,8,…}   ή το σύνολο των  θετικών περιττών  Π={1,3,5,7,..}  είναι και τα δυο τους υποσύνολα του Ν.

  Αν τεθεί το ερώτημα «το πλήθος των αρτίων είναι το ίδιο με το πλήθος των περιττών αριθμών;» Ποια θα ήταν η απάντηση;Παρότι είναι αδύνατο να μετρήσουμε  τα στοιχεία των δυο συνόλων και να  συγκρίνουμε τα αποτέλεσμα διαισθητικά θα λέγαμε ότι έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.Γιατί; Μια πρώτη απάντηση εκ του πρόχειρου θα ήταν να πούμε ότι οι μισοί φυσικοί είναι άρτιοι και άλλοι μισοί είναι περιττοί, οπότε  έχουν το ίδιο πλήθος. Ο Cantor θα συμφωνούσε στο αποτέλεσμα θα είχε τις ενστάσεις του στην αιτιολόγηση  θα προτιμούσε την μέθοδο του..βοσκού.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor(1845 –1918)

  

   Ο Cantor θα ισχυριζόταν ότι, το σύνολο των αρτίων έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το σύνολο των περιττών  διότι υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχία,ένα ζευγάρωμα κάθε αρτίου αριθμού με ένα μοναδικό περιττό.

 

Λέμε ότι απεικονίσαμε  με μια ένα προς ένα αντιστοιχία κάθε άρτιο  σε ακριβώς ένα περιττό . Γενικότερα ο Cantor διαπίστωσε  ότι για αν δυο οποιαδήποτε σύνολα Α,Β -απειροσύνολα ή μη -υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχία( αμφιμονοσημαντη απεικόνιση)  κάθε στοιχείου του Α σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β τότε  τα σύνολα Α,Β έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων.

Τώρα φτάνουμε σε ένα δυσκολότερο ερώτημα « είναι περισσότεροι οι φυσικοί θετικοί αριθμοί ή οι άρτιοι αριθμοί;».Διαισθητικά θα λέγαμε ότι εφόσον οι άρτιοι περιέχονται στο σύνολο των φυσικών δηλαδή το σύνολο των αρτίων είναι υποσύνολο των φυσικών αριθμών τότε τα στοιχεία του Ν είναι περισσότερα από τα στοιχεία του Α. Όμως εδώ η διαίσθηση μας είναι λάθος. Η σωστή απάντηση είναι ότι έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος στοιχείων. Διότι υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχία που «ζευγαρώνει» καθ φυσικό αριθμό με ένα ακριβώς άρτιο και αυτό αρκεί. Δείτε:

 

  

  Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου λέγεται πληθάριθμος ή πληθικότητα ή πληθικός αριθμός ( cardinality).Για παράδειγμα,ο πληθικός αριθμός του συνόλου {α,β,γ,δ} είναι 4 (Card({α,β,γ,δ})=4), ο πληθικος αριθμός των προβάτων του θρυλικού μας βοσκού είναι 150 αλλά αυτός είπαμε, δεν ξέρει να μετρά, τον ακριβή αριθμό τον γνωρίζει μόνο ο λογιστής του!!! Οπότε πληθάριθμος ενός συνόλου μας δίνει το «μέγεθος» ενός συνόλου.O Cantor συμβόλισε τον πληθικό αριθμό του συνόλου Ν και κάθε συνόλου που μπορεί να τεθεί με αυτό σε μια ένα προς ένα αντιστοιχία (με το γράμμα του εβραϊκού αλφαβήτου Αλεφ μηδέν  Ν₀ .

Θα συμβολίζαμε Card(Ν)= Card(Α)= Card(Π)= Ν₀

Όλα τα σύνολα με πληθικότητα Ν₀ ονομάζονται αριθμήσιμα ,σκεφτείτε ότι, μπορούμε να τα γράψουμε σαν αριθμημένη λίστα με διατεταγμένη σειρά  .Για παράδειγμα το σύνολο των αρτίων γράφεται 2,4,6,8,….. και ξέρουμε ποιο είναι πρώτο ποιο είναι δεύτερο  κ.ο.κ

Ο Cantor έθεσε ακόμα ένα ερώτημα :Είναι το σύνολο των κλασμάτων αριθμήσιμο;

Μπορεί να γραφεί με την μορφή μιας αριθμημένης λίστας; Δείτε πως σκέφτηκε και αποθεώστε τον. Αρχικά, έγραψε  σε μια γραμμή όλους ακεραίους αριθμούς

 Στην επομένη γραμμή σημείωσε όλα τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή 2 έκτος  από τα κλάσματα που  εμφανίζονται στην παραπάνω γραμμή (για παράδειγμα Θα παρέλειπε το 4/2)Στην επομένη γραμμή  σημείωσε όλα τα κλάσματα με παρονομαστή το 3 παραλείποντας κάθε στοιχείο που υπάρχει στις πάνω γραμμές. Και ούτω καθεξής .Είναι βέβαιο ότι με αυτό τον τρόπο σε όλες τις γραμμές θα υπάρχουν όλα τα κλάσματα.

Διατάσσοντας όμως, ο Cantor όλα τα κλάσματα κατ αυτόν τον τρόπο μπόρεσε να δημιουργήσει μια αριθμημένη λίστα , δηλαδή να δημιουργήσει μια ένα προς ένα αντιστοιχία με το Ν διαγράφοντας μια πορεία ζιγκ-ζαγκ. Δείτε το σχήμα:

Η  αντιστοιχία είναι :

  

   Οπότε το σύνολο των κλασμάτων είναι αριθμήσιμο,τι γίνεται όμως με το σύνολο των πραγματικών αριθμών;Είναι αριθμήσιμο;Μπορεί να γραφεί σαν αριθμημένη λίστα; Ο Cantor με το περίφημο διαγώνιο επιχείρημα του απέδειξε ότι δεν είναι αριθμήσιμο.Άρα έχουμε διαφορετικές τάξεις άπειρου.Οι φυσικοί αριθμοί μπορεί να είναι άπειροι αλλά είναι «λιγότεροι» από τούς άπειρους πραγματικούς αριθμούς.Σκέτη προβοκάτσια ε;
Η παραπάνω απόδειξη οπτικοποιημένη από το διαδικτυακό καναλι Numbephile