Μαθη...μαγικά : Ευρετική για ατζαμήδες:Μεταπροβλήματα ΙΙ

Τρίτη 3 Απριλίου 2018

Ευρετική για ατζαμήδες:Μεταπροβλήματα ΙΙ

«Μέτα-αλήθεια» (η πολιτική ρητορική/πρακτική που αγνοεί την αλήθεια και βασίζεται σε μια προσωπική,ενίοτε εντελώς πλαστή, εκδοχή της πραγματικότητας)»

Η λέξη «μετα-αλήθεια» ήταν η λέξη της χρονιάς για το 2016

Αν κάτι δεν μπορεί να ειπωθεί στα αστεία τότε δεν αξίζει να το πάρουμε στα σοβαρά και να ασχοληθούμε. Με πλοηγό το παραπάνω μότο σήμερα ο λόγος για μεταπροβλήματα.

Πως ορίζουμε το πρόθεμα μέτα στα προβλήματα ψυχαγωγικών μαθηματικών;

Συνήθως, συμπεραίνουμε αφού επεξεργαζόμαστε το τι ξέρουμε, όταν όμως μπορούμε να συμπεράνουμε μόνο από το γεγονός αν είναι δυνατό να ξέρουμε τότε ο συλλογισμός είναι μέτα. Για παράδειγμα, αν δοθεί ότι ειπώθηκε στο Γιώργο το πλήθος των ημερών ενός μήνα και από αυτήν την πληροφορία ο Γιώργος συμπέρανε (δεν μάντεψε) ποιος ήταν ο μήνας, αντιλαμβανόμαστε ότι του ειπώθηκε ο αριθμός 28 ή 29 και βρήκε ότι πρόκειται για τον Φεβρουάριο,διότι σε κάθε άλλη περίπτωση δεν θα μπορούσε να το βρει.

Στα ψυχαγωγικά μαθηματικά τα μεταπροβλήματα δεν περιορίζονται σε προβλήματα λογικής αλλά επεκτείνονται και στην θεωρία αριθμών ή πληροφοριοπροβλήματα αυτοαναφοράς.Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Τα γενέθλια

Ο Αντώνης και ο Βασίλης μόλις έγιναν φίλοι με την Γεωργία και την ρώτησαν πότε είναι τα γενέθλιά της. Κι αυτή τους έδωσε μια λίστα με τις πιθανές ημερομηνίες:

15 Μαΐου, 16 Μαΐου ,19 Μαΐου

17 Ιουνίου, 18 Ιουνίου

14 Ιουλίου, 16 Ιουλίου

14 Αυγούστου, 15 Αυγούστου, 17 Αυγούστου

Μετά, η Γεωργία λέει στον Αντώνη και τον Βασίλη ξεχωριστά, τον μήνα και την ημέρα των γενεθλίων της αντιστοίχως. Τότε ο Αντώνης και ο Βασίλης έκαναν τις εξής δηλώσεις:

Αντώνης: «Δεν γνωρίζω πότε είναι τα γενέθλια της Γεωργίας, αλλά ξέρω πως ούτε ο Βασίλης γνωρίζει.»

Βασίλης: «Αρχικά δεν γνώριζα, αλλά τώρα ξέρω.»

Αντώνης: «Ε,τότε κι εγώ ξέρω πότε είναι τα γενέθλια της Γεωργίας ».

Πότε είναι τα γενέθλια της Γεωργίας;

Πως το λύνουμε; Ας δούμε τι ειπώθηκε. Αρχικά γνωρίζουμε ότι η Γεωργία είπε στον Αντώνη :Μάιος ή Ιούνιος ή Ιούλιος ή Αύγουστος ενώ στον Βασίλη είπε: 14, 15, 16, 17, 18, ή 19.

Η πρώτη δήλωση

Αντώνης: «Δεν γνωρίζω πότε είναι τα γενέθλια της Γεωργίας, αλλά ξέρω πως ούτε ο Βασίλης γνωρίζει.»

● Στον Βασίλη έχει ειπωθεί η μέρα των γενεθλίων της Γεωργίας .Υπάρχουν μόνο δυο μέρες , 18 και 19 που εμφανίζονται μόνο μια φορά στην λίστα υποψήφιων ημερομηνιών της Γεωργίας. Αυτό σημαίνει ότι τα γενέθλια της Γεωργίας δεν μπορούν είναι την 19^η Μάιου ή 18^η Ιουνίου αλλιώς ο Βασίλης θα ήξερε την ημερομηνία.

● Να σημειώσουμε ότι στον Αντώνη έχει ειπωθεί ο μήνας και από την δήλωση γνωρίζει ότι ο Βασίλης δεν ξέρει την ημερομηνία των γενεθλίων .Άρα από την πληροφορία ότι ο Αντώνης είναι σίγουρος ότι ο Βασίλης δεν γνωρίζει την ημερομηνία γενεθλίων( μέρα ,μήνας) ο μήνας τον οποίο έχει πει η Γεωργία στον Αντώνη δεν είναι ο Μάιος ή ο Ιούνιος.

● Άρα τα γενέθλια της Γεωργίας πρέπει να είναι Ιούλιο ή Αύγουστο.

Από την δεύτερη δήλωση τι ξέρουμε;

Βασίλης: «Αρχικά δεν γνώριζα, αλλά τώρα ξέρω.»

● Ο Βασίλης έχοντας κάνει και αυτός όλες τις παραπάνω σκέψεις έχει βγάλει τα ίδια συμπεράσματα όπως παραπάνω έχει συμπεράνει ότι τα γενέθλια της Γεωργίας είναι Ιούλιο ή Αύγουστο.

● Αν ο Βασίλης τώρα ξέρει την ακριβή ημερομηνία τότε η μερα που θα του είχε ειπωθεί από την Γεωργία θα πρέπει να ήταν 15,16 ή 17.Δεν μπορεί να είναι 14 καθώς υπάρχει και στους δυο μήνες (Ιούλιο ,Αύγουστο) άρα δεν θα μπορούσε σίγουρα να γνωρίζει την ημερομηνία.

Πάμε στην τρίτη δήλωση

Αντώνης: «Ε, τότε κι εγώ ξέρω πότε είναι τα γενέθλια της Γεωργίας ».

● Ο Αντώνης κάνοντας όλες τις παραπάνω σκύψεις έχει καταλήξει ότι τα γενέθλια τη Γεωργίας είναι

16 Ιουλίου ή 15 Αυγούστου ή 17 Αυγούστου

● Αν ο Αντώνης τώρα γνωρίζει σίγουρα πότε είναι η ακριβής ημερομηνία πρέπει να του έχει ειπωθεί ο μήνας Ιούλιος , αν ήταν ο Αύγουστος θα υπάρχων δυο πιθανές επιλογές και δεν μπορούσε να πει με σιγουριά.

Άρα η απάντηση είναι 16 Ιουλίου.

Το παραπάνω πρόβλημα τέθηκε σε μαθηματικό διαγωνισμό του Χονγκ Κονγκ αλλά έχει τις ρίζες σε ένα άλλο πολύ πιο δύσκολο που τέθηκε το 1969 από τον Δανό μαθηματικό Hans Freudenthal με τίτλο Impossible puzzle και το έκανε γνωστό ο Μάρτιν Γκάρντνερ στην πασίγνωστη στήλη του στο Scientific American.

(Δείτε τις παραπομπές στο τέλος της ανάρτησης )

Hans Freudenthal,impossible puzzle

http://leesallows.com/files/THE_IMPOSSIBLE_PROBLEM2.pdf

Παπαδόπουλοι

Ο Μήτσος είναι ο νέος ταχυδρόμος στο οικοδομικό τετράγωνο που μένουν τέσσερεις οικογένειες, οι Αντωνόπουλοι, οι Βασιλόπουλοι, οι Γεωργόπουλοι και οι Παπαδόπουλοι.

Συζητούν στο κεφαλόσκαλο του σπιτιού της οικογένειας των Παπαδόπουλων, ο πάτερ φαμίλιας Παπαδόπουλος με τον ταχυδρόμο.

-«Πόσα παιδιά έχει η κάθε οικογένεια;» Ρώτησε ο ταχυδρόμος.

-«Να σου πω, κάθε οικογένεια έχει διαφορετικό αριθμό παιδιών. Εγώ έχω περισσότερα παιδιά από τους Αντωνόπουλους, οι Αντωνόπουλοι περισσότερα παιδιά από τους Βασιλόπουλους και οι Γεωργόπουλοι έχουν τα λιγότερα παιδιά από τις τέσσερεις οικογένειες.»

-«Πόσα παιδιά συνολικά έχουν και οι τέσσερεις οικογένειες;»

-«Λιγότερα από 18 και το γινόμενο των αριθμών των παιδιών των τεσσάρων οικογενειών ισούται με τον αριθμό του σπιτιού μου.»

Ο ταχυδρόμος σκέφτηκε λίγο και είπε: «Δεν είναι δυνατό με αυτά τα στοιχεία να βρω πόσα παιδιά έχει κάθε οικογένεια.Οι Γεωργόπουλοι έχουν περισσότερα από ένα παιδιά;»

-«Να σου πω..». Εκείνη την στιγμή πέρασε ένα φορτηγό και δεν ακούσαμε τι απάντησε ο Παπαδόπουλος στον ταχυδρόμο. Ο ταχυδρόμος όμως άκουσε και ξαναλέει:

-«Τώρα μπορώ να βρω πόσα παιδιά έχει κάθε οικογένεια.»

Πραγματικά, είπε τέσσερα νούμερα και ήταν όλα σωστά.

Πόσα παιδιά έχει κάθε οικογένεια και σε ποιον αριθμό μένουν οι Παπαδόπουλοι;

Ο λύτης μπορεί να βρει το πλήθος των παιδιών και τον αριθμό του σπιτιού μόνο αν αναλογιστεί στο τι φαίνεται να ξέρει και να συμπεραίνει ο ταχυδρόμος .

Όταν ο ταχυδρόμος αρχικά ασχολήθηκε με το πρόβλημα γνώριζε ότι οι τέσσερεις αριθμοί ήταν διαφορετικοί ότι το άθροισμα των αριθμών των παιδιών ήταν μικρότερο από 18 και επίσης γνώριζε το γινόμενο τους. Μπορούσε να δει τον αριθμό στο σπίτι του Παπαδόπουλου. Το πρώτο βήμα που έκανε ήταν να παραγοντοποιήσει τον αριθμό του σπιτιού ως γινόμενο 4 αριθμών διαφορετικών μεταξύ τους με άθροισμα μικρότερο του 18.Αν αυτό μπορούσε να γίνει με ένα τρόπο τότε θα έλυνε το πρόβλημα από την αρχή συνεπώς υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για να γίνει η παραγοντοποίηση.

Αν γράψουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις 4 διαφορετικών φυσικών με άθροισμα μικρότερο από 18 και το γινόμενο τους, απορρίπτουμε τους συνδυασμούς που το γινόμενο εμφανίζεται μια φόρα. Μας μένουν τότε οι συνδυασμοί:

1,3,4,5 γινόμενο 60

1,2,5,6 γινόμενο 60

1,2,4,10 γινόμενο 80

1,2,5,8 γινόμενο 80

1,2,5,9 γινόμενο 90

1,3,5,6 γινόμενο 90

1,2,4,9 γινόμενο 72

1,3,4,6 γινόμενο 72

1,2,6,8 γινόμενο 96

1,3,4,8 γινόμενο 96

1,3,4,7 γινόμενο 84

1,2,6,7 γινόμενο 84

1,3,5,8 γινόμενο 120

1,4,5,6 γινόμενο 120

2,3,4,5 γινόμενο 120

Όταν ο ταχυδρόμος ρώτησε να έχουν ένα παιδί οι Γεωργόπουλοι ξέρουμε ότι βλέπει ως γινόμενο το 120,δεν θα είχε νόημα η ερώτηση του σε κάθε άλλη περίπτωση καθώς μόνο στο 120 έχουμε παραγοντοποίηση με το 1 και χωρίς το 1.Άρα το γινόμενο δεν είναι 120.

Τι απάντησε ο Παπαδόπουλος στην ερώτηση αν έχουν ένα παιδί οι Γεωργόπουλοι, αν απάντησε ΝΑΙ δεν θα μπορούσε ο ταχυδρόμος να βρει τις ηλικίες, εφόσον τις βρήκε η απάντηση ήταν ΟΧΙ οπότε τα πλήθη των παιδιών είναι 2,3,4 και 5και οι Παπαδόπουλοι μένουν στον αριθμό 120.

Αρειανοί
Στον πλανήτη Άρη,σε μια αίθουσα βρίσκονται περισσότεροι από ένας Αρειανοί.Κάθε Αρειανός έχει τουλάχιστον ένα χέρι και τουλάχιστον ένα δάχτυλο σε κάθε χέρι και όλοι οι Αρειανοί έχουν τον ίδιο αριθμό από δάκτυλα.Το πλήθος των Αρειανών δακτύλων στην αίθουσα είναι ανάμεσα στα 200 και 300.Αν γνωρίζουμε τον ακριβή αριθμό των δακτύλων είναι δυνατό να βρούμε το πλήθος των Αρειανών στην αίθουσα.Πόσοι είναι συνολικά, οι Αρειανοί και πόσα δάκτυλα έχει ο καθένας τους;

Το κλειδί του προβλήματος είναι η πληροφορία ότι ο αριθμός των δακτύλων μπορεί να μας δώσει μοναδικά το πλήθος των Αρειανών. Κάθε αριθμός ανάμεσα στο 200 και 300 που γράφεται σαν γινόμενο δυο ή περισσότερων διαφορετικών αριθμών απορρίπτεται διότι δεν γνωρίζουμε ποιος αριθμός εκφράζει τα δάκτυλα και ποιος τους αρειανούς. Εξηγούμαι, αν τα δάκτυλα είναι π.χ 249 τότε 249=83x3 .Τότε θα έχουμε 83 αρειανούς με 3 δάκτυλα ο καθένας ή 3 Αρειανούς με 83 δάκτυλα ο καθένας .Η μόνη περίπτωση που δεν έχουμε αβεβαιότητα είναι ο αριθμός των δακτύλων και ο αριθμός των Αρειανών να είναι ίδιος και να μην είναι σύνθετος .Οπότε αναζητούμε ένα αριθμό ανάμεσα στο 200 και 300 που να είναι το τετράγωνο ενός πρώτου αριθμού. Ο μοναδικός αριθμός που ικανοποίει τις παραπάνω συνθήκες είναι το 17 διότι 17^2=289.Αρα έχουμε 17 αρειανούς με 17 δάκτυλα ο καθένας .

Τηλεόραση

Στην τηλεοπτική εκπομπή λόγου «Όσα και να λες εγώ τα γράφω» είναι προσκεκλημένοι οι διεθνούς κύρους εμπειρογνώμονες Αντωνίου, Βασιλείου, Γεώργιου. Τοποθετηθήκαν σε ένα τραπέζι ο ένας δίπλα στον άλλο. Όταν έφτασε ο παρουσιαστής δεν ήξερε ποιος είναι ποιος, όμως όλοι γνωρίζουν ότι ο Αντωνίου λέει πάντα αλήθεια, ο Βασίλειου πότε αλήθεια, πότε ψέματα και ο Γεώργιου πάντα ψέματα.

Έτσι βλέποντας τρεις άνθρωπους απέναντι του ρώτησε αυτόν που καθόταν αριστερά. «Ποιος κάθεται δίπλα σου; »

Η απάντηση ήταν «ο Αντώνιου».Κατόπιν ρώτησε αυτόν που καθόταν στην μέση «Ποιος είστε εσείς;».Η απάντηση είναι «Ο Βασιλείου».Τέλος ,ρώτησε αυτόν που καθόταν δεξιά: «Ποιος κάθεται δίπλα σας; Η απάντηση ήταν «ο Γεωργίου».

Με ποια σειρά κάθονταν οι τρεις προσκεκλημένοι;

Πως το λύνουμε;

Ο αριστερά καθήμενος δεν μπορεί να είναι ο Αντωνίου, διότι είπε ότι ο Αντωνίου κάθεται δίπλα του και από υπόθεση ο Αντωνίου λέει πάντα αλήθεια. Δεν μπορεί όμως να είναι και ο Γεωργίου διότι τότε ο Βασιλείου θα ήταν στην μέση και άρα δεξιά ο Αντωνίου ο οποίος όμως είπε ότι δίπλα του κάθεται ο Γεωργίου .Συνεπώς αριστερά κάθεται ο Βασιλείου. Σε αυτήν την περίπτωση ο μεσαίος προσκεκλημένος είπε ψέματα άρα είναι ο Γεωργίου και δεξιά βρίσκεται ο Αντωνίου. Η σειρά με την οποία κάθονται οι τρεις προσκεκλημένοι είναι Βασιλείου, Γεωργίου, Αντωνίου.