«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 19 Μαΐου 2018

Αριθμοσκώληκες



Προβληματάκι
  Ένα είδος αριθμοσκώληκα  αναπτύσσεται με ρυθμό ένα μέτρο την ώρα.Το συγκεκριμένο είδος όταν φτάσει το μέγιστο μήκος  του ενός μέτρου σταματά να αναπτύσσεται. Ένας πλήρως αναπτυγμένος αριθμοσκώληκας μπορεί να διαιρεθεί σε δυο νέους αριθμοσκώληκες  με τυχαίο μήκος εκάστου και προφανώς άθροισμα μηκών ενός μέτρου. Αν αρχικά έχουμε ένα πλήρως αναπτυγμένο  αριθμοσκώληκα  είναι δυνατό να προκύψουν  δέκα πλήρως ανεπτυγμένοι αριθμοσκώληκες σε λιγότερο από μια ώρα;

6 σχόλια:

  1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από έναν διαχειριστή ιστολογίου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Συμπληρώνω καλύτερα:
    Αν υποθέσουμε ότι ο πρώτος τεμαχισμός γίνεται στο χρόνο 0 (ώρες) σε κομμάτια μήκους σε μέτρα 1-ε(1) και ε(1), ο δεύτερος τεμαχισμός θα γίνει στο χρόνο ε(1) σε κομμάτια μήκους 1-ε(2) και ε(2), ο τρίτος τεμαχισμός θα γίνει στο χρόνο ε(1)+ε(2) σε κομμάτια μήκους 1-ε(3) και ε(3) ... και ο ν-οστός τεμαχισμός θα γίνει στο χρόνο ε(1)+ε(2)+..+ε(ν-1) σε κομμάτια 1-ε(ν) και ε(ν).
    Για να είναι πλήρως ανεπτυγμένα όλα τα κομμάτια ε(1), ε(2),...,ε(ν) σε χρόνο λιγότερο από 1 ώρα, αρκεί νομίζω να ισχύουν οι:
    ε(1) < ε(2),
    ε(1)+ε(2) < ε(3),
    ...,
    ε(1)+ε(2)+..+ε(ν-1) < ε(ν) και
    ε(1)+ε(2)+...+ε(ν) < 1.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ότι σωστά γενικεύεις Θανάση, με συγκεκριμένο αριθμητικό παράδειγμα ,δυνάμεις του 2.Χωρίζουμε το μέτρο σε 1024 «μήκια» και την μια ώρα σε 1024 «χρόνεια». Το μήκιο είναι αυτόκλητη για τις ανάγκες του προβλήματος μονάδα μήκους (1/1024 m)
      Ανάλογα το χρόνειο :):).
      Χωρίζουμε τον σκώληκα σε δυο σκώληκες: Ένα με μήκος 1 μήκιο και ένα με μήκος 1023 μήκια. Όταν περάσει ένα χρόνειο ο μικρότερος σκώληκας θα έχει γίνει 2 μήκια και ο μεγαλύτερος ένας πλήρως ανεπτυγμένος σκώληκας. Κατόπιν χωρίζουμε τον πλήρως ανεπτυγμένο σε δυο σκώληκες ένα με μήκος 2 μήκια και ο άλλος 1022 μήκια σε δυο χρόνεια οι δυο μικρότεροι σκώληκες έχουν μήκος 4 μήκια και ο τρίτος είναι πλήρως ανεπτυγμένος. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία. Θα έχουμε 10 πλήρως αναπτυγμένους σκώληκες σε 1+2+4+…+512=1023 χρόνεια ακριβώς πριν τελειώσει η μια ώρα .Άρα είναι καταφατική η απάντηση στο ερώτημα.

      Διαγραφή
  4. Μεγάαααλη έμπνευση ΘΑΝΑΣΗ τα μήκια και τα χρόνεια!!!. Ρασούλης στα καλύτερά του, μη σου πω Ομάρ Καγιάμ, μετά από την έμπνευση του χ 😉.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...