Σφηνάκια κριτηρίων Διαιρετότητας

  

   Α: "Πόσες φορές μπορείς να αφαιρέσεις το 9 από το 95 και τι θα μείνει στο τέλος;''
   Β: "Μπορώ να το αφαιρέσω όσες φορές θέλω και πάντα θα μου μένει 86!!"

 

   Σκοπεύω να ανεβάσω κάποιες αναρτήσεις για διαγωνιστικά μαθηματικά γυμνάσιου -λυκείου,οπότε στην παρούσα ανάρτηση υπενθυμίζω γνωστά και μη κριτήρια διαιρετότητας με κάποιες αποδείξεις.
 Για να διαπιστώσουμε γρήγορα αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται ακριβώς από έναν άλλο, χρησιμοποιούμε ορισμένους κανόνες που ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας.

Τα πιο γνωστά είναι:

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 2, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8 (δηλ. είναι ζυγός αριθμός).

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 3, όταν το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 4, όταν τα  τελευταίo διψήφιο τμήμα του διαιρείται με το 4.

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 5 ή 0.

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 6 αν είναι ταυτόχρονα διαιρετός και με το 2 και με το 3.

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 8, όταν οι τρεις τελευταίοι αριθμοί σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8.

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 9, όταν το άθροισμα των ψηφίων του ειναι πολλαπλάσιο του 9.

-Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 10, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.

Από εκεί και πέρα.


Κριτήριο διαιρετότητας για το 13
 

  Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού και από τον αριθμό που προέκυψε αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο. Αν το αποτέλεσμα διαιρείται με το 13 τότε θα διαιρείται και ο αρχικός αριθμός με το 13.

Συνεχίζουμε την διαδικασία μέχρι ο αριθμός που προκύπτει μπορεί να ελεγχτεί με το μάτι αν είναι πολλαπλάσιο όχι του 13.

 Για παράδειγμα, θεωρούμε τον αριθμό  73814

Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο  το 4  προκύπτει ο 7381

Αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο   9*4=36  : 7381-36=7345

Επαναλαμβάνουμε:

Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο  το 5  προκύπτει ο 734

Αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο   9*5=45  : 734-45 =689

Επαναλαμβάνουμε:

Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο  το 9  προκύπτει ο 68

Αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο   9*9=81 : 68-81=-13

Που είναι πολλαπλάσιο του 13 άρα και ο αρχικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 13.

Μια μίνι «γυμνασιακή» απόδειξη

  Έστω ότι ο αριθμός Ν είναι πολλαπλάσιο του 13, τότε ο Ν σε δεκαδική μορφή γράφεται:

Ν=α₀10⁰+ α₁10¹+ α₂10²+ α₃10³+…. με ψηφίο μονάδων το α₀

Αν διαγράψουμε το τελευταίο ψηφίο τότε προκύπτει ο αριθμός

Κ= α₁10⁰+ α₂10¹+ α₃10²+….

Αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός Κ-9α₀ είναι πολλαπλάσιο του 13.

Ισχύει:

Ν=10κ+ α₀=13κ-3κ+13 α₀ -12 α₀=13κ+13α₀-12α₀-3κ=

=13(κ+ α₀)-3(4 α₀+κ) =13(κ+ α₀-3(4 α₀+κ)/13)

Πρέπει το  13 να διαιρεί το 4α₀+κ=4α₀+9 α₀₊ (κ-9α₀)=13α₀₊ (κ-9α₀)

Δηλ,το κ-9α₀  να είναι πολλαπλάσιο του 13. 

Κριτήριο διαιρετότητας για το 7

  Για να εξετάσουμε αν ένας φυσικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 7 αρκεί να διαγράψουμε το τελευταίο ψηφίο  του και  να αφαιρέσουμε από τον αριθμό το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε. Ο αριθμός που προκύπτει  είναι  πολλαπλάσιο του 7 αν και μόνο αν ο αρχικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 7. Συνεχίζουμε την διαδικασία μέχρι να καταλήξουμε σε διψήφιο αριθμό όπου από την προπαίδεια θα γνωρίζουμε αν είναι ή όχι πολλαπλάσιο του 7 .

Ενα παράδειγμα:

Επιλέγουμε  τυχαία ένα αριθμό   412734.

Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 412734  και αφαιρούμε το διπλάσιο του τελευταίου ψηφίου του :   41273-(2x4)= 41273-8= 41265

Επαναλαμβάνουμε:

• Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του  41265 και αφαιρούμε το διπλάσιο του τελευταίου διαγραμμένου  ψηφίου του   :    4126-(2x5)= 4126-10=4116.

• Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του  4116   και αφαιρούμαι το διπλάσιο του τελευταίου διαγραμμένου ψηφίου του :     411 -(2x6)= 411 - 12=399
• Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 399  και αφαιρούμε το διπλάσιο του τελευταίου διαγραμμένου ψηφίου του :         39 -(2x9)= 39 -18=21

Το 21  είναι πολλαπλάσιο του 7  άρα και ο αρχικός αριθμός   412734 είναι πολλαπλάσιο του 7.

 Ανάλογα με την απόδειξη του κριτηρίου για το 13 και η απόδειξη για το κριτήριο του 7.

  Έστω ότι ο αριθμός Ν είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε ο Ν σε δεκαδική μορφή γράφεται:

Ν=α₀10⁰+ α₁10¹+ α₂10²+ α₃10³+…. με ψηφίο μονάδων το α₀

Αν διαγράψουμε το τελευταίο ψηφίο τότε προκύπτει ο αριθμός

Κ= α₁10⁰+ α₂10¹+ α₃10²+….

Αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός Κ-2α₀ είναι πολλαπλάσιο του 7.

Ισχύει:

Ν=10κ+ α₀=7κ+3κ+7α₀-6α₀=7(κ++α₀+3(κ-2α₀)/7)

Πρέπει το  7 να διαιρεί το  (κ-2α₀)

Δηλ,το κ-2α₀  να είναι πολλαπλάσιο του 7. 

 Για την διαιρετότητα ενός φυσικού αριθμού με το 7 υπάρχει και σχηματικός έλεγχος με χρήση ενός γράφου.

 Θεωρούμε ένα θετικό ακέραιο αριθμό. Εφαρμόζουμε διαδοχικά τα παρακάτω βήματα.

1.Με αφετηρία το Ναι .

2.Μετακινούμαστε δεξιόστροφα ακολουθώντας τα μαύρα βέλη τόσες φορές όσες και το πρώτο ψηφίο (από αριστερά) του αριθμού.

3.Μετακινούμαστε κατά το πράσινο βέλος και  θεωρούμε το επόμενο ψηφίο (δεξιότερα) του αρχικού αριθμού.

4.Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 για κάθε ψηφίο. (εκτός από το τελευταίο)

5.Αν καταλήξουμε στο Ναι τότε ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 7.

Για παράδειγμα,ο αριθμός 133:

Κριτήριο διαιρετότητας για το 11

  Για να εξετάσουμε αν ένας φυσικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 11 αρκεί να προσθέσουμε τα ψηφία του αριθμού με περιττή σειρά ( 1^ο  + 3^ο  + 5^ο  ......ψηφίο ) και να υπολογίσουμε  το άθροισμα τους. Στην συνέχεια προσθέτουμε τα ψηφία με άρτια σειρά ( 2^ο  +4^ο  +6^ο  ....ψηφίο ) και να υπολογίσουμε το άθροισμα τους. Αν η απολυτή διαφορά των δυο αθροισμάτων  είναι 0 ή πολλαπλάσιο του 11 τότε ο αρχικός αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του 11.

Για παράδειγμα, ο αριθμός  257997901458

2+7+9+9+1+5=33

5+9+7+0+4+8=33

33-33=0  άρα ο αριθμός 257997901458 είναι πολλαπλάσιο του 11

Μια απόδειξη

  Έστω ότι ο αριθμός Ν είναι πολλαπλάσιο του 11,τότε ο Ν σε δεκαδική μορφή γράφεται:

Ν=α₀10⁰+ α₁10¹+ α₂10²+ α₃10³+…. Α_ν10^νμε ψηφίο μονάδων το α₀

Ν=α₀+ α₁(11-1)+ α₂(99+1)+ α₃(1001-1)+ α₄(9999+1)+…. …. = α₀+ 11 - α₁+ 99 α₂ +α₂+ 1001α₃- α₃+ 9999 α₄+1 α₄+…= (α₀ - α₁ +α₂- α₃ +α₄-….) +(11 α₁+ 99 α₂ + 1001α₃+ 9999α₄+…)

Η δεύτερη παρένθεση είναι πολλαπλάσιο του 11 η πρώτη υπαινίσσεται το κριτήριο….

Διαιρετότητα σύνθετων αριθμών

 Για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με ένα σύνθετο αριθμό χρησιμοποιούμε τα προηγούμενα κριτήρια δις,δηλαδή για να ελέγξουμε για παράδειγμα αν ένας αριθμός διαιρείται με το 26 αρκεί να διαιρείται με το 2 και το 13.(οι αριθμοί (2,13) πρέπει να είναι πρώτοι μεταξύ τους,δηλαδή να έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 1). Έτσι για παράδειγμα για να δούμε αν διαιρείται ένα αριθμός με το 12 δεν θα πάρουμε το 2 και το 6 άλλα το 3 και το 4  που είναι πρώτοι μεταξύ τους. Έτσι έχουμε στο  νου μας τον πίνακα:

Ένα βίντεο για  οπτικούς τύπους: