Μαθη...μαγικά : Γιατί έχετε λιγότερους φίλους από τους φίλους σας και η ανισότητα Cauchy-Schwartz!

Σάββατο 5 Μαΐου 2018

Γιατί έχετε λιγότερους φίλους από τους φίλους σας και η ανισότητα Cauchy-Schwartz!

Φιλία.Δεσμός απόλυτα εφικτός,αρκεί να μην συγχρωτίζεσαι υπερβολικά με τον άλλο.//2.Αγαπη δίχως φόβο.

Αντρές Νέουμαν,Βαρβαρισμοί

Όλοι θέλουμε να είμαστε μοναδικοί και το ξέρω ότι η δήλωση συνιστά αντίφαση αλλά το αναπαράγω χωρίς αιδώ καθώς είναι πολύ σχετικό με την δημοφιλία σε κάθε είδους κοινωνικό δίκτυο.Λοιπόν, αν ποτέ μπείτε στην μίζερη διαδικασία να μετρήσετε πόσους φίλους έχετε εσείς και πόσους φίλους έχουν οι φίλοι σας, θα διαπιστώσετε ότι περισσότεροι φίλοι σας έχουν περισσότερους φίλους από σας και ότι δεν έχουν μόνο οι περισσότεροι φίλοι σας περισσότερους φίλους από σας.

ΟΛΟΙ, κατά μέσο όρο, έχουν περισσότερους φίλους από εσάς.

Μήπως έχετε τον ανθρωποδιώκτη και είστε τόσο αντιδημοφιλής σε σύγκριση με όλους τους άλλους; Είναι ενοχλητικό.Άλλα,δεν χρειάζεται να το πάρετε κατάκαρδα. Οι φίλοι των περισσότερων ανθρώπων,έχουν περισσότερους φίλους από ότι εσείς,διατηρώ τον πληθυντικό κρατώντας αποστάσεις από μισάνθρωπους σαν ελόγου σας.

Ακούγεται περίεργο. Σε ένα κοινωνικό δίκτυο, όλοι εχουν κατά μέσο όρο τον ίδιο αριθμό φίλων.Κάποιοι έχουν περισσότερους φίλους,κάποιοι λιγότερους, αλλά ο μέσος όρος του αριθμού των φίλων παραμένει…ο μέσος όρος.Φαίνεται διαισθητικά λογικό ότι οι φίλοι τους θα έχουν επίσης, κατά μέσο όρο, ακριβώς τον ίδιο αριθμό φίλων.

Είναι έτσι;

Ένα παράδειγμα να αντιληφτούμε τι εκφράζουν τα παραπάνω.Tετριμμένο παράδειγμα,και εσείς να φτιάξετε ένα θα καταλήξετε στα ίδια συμπεράσματα. Τα περισσότερα δίκτυα παρουσιάζουν ανάλογη συμπεριφορά..Το δίκτυο δείχνει 12 ανθρώπους και οι γραμμές συνδέουν τους φίλους.Κάνουμε την παραδοχή ότι οι φιλίες είναι αμφίδρομες.

Καταγράφουμε μερικά στοιχεία σε ένα πίνακα:

Στην τελευταία στήλη με κόκκινο χρώμα είναι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από τους αριθμούς στην δεύτερη στήλη.Πρόκειται για τις περιπτώσεις των ανθρώπων που έχουν, κατά μέσο όρο, περισσότερους φίλους από αυτούς. Οκτώ στους δώδεκα αριθμούς είναι με κόκκινο χρώμα που οι φίλοι τους είναι πιο δημοφιλείς και σε μια περίπτωση έχουμε ισότητα . Η μέση τιμή των αριθμών στην δεύτερη στήλη είναι 3,16. Δηλαδή, το μέσο πλήθος στο κοινωνικό δίκτυο είναι 3,16.Ομως οι περισσότεροι αριθμοί στην τέταρτη στήλη είναι μεγαλύτεροι από το 3,16.Μηπως υπάρχει κάποια αντίφαση σε σχέση με ότι υπαγορεύει η διαίσθηση μας;

Όχι. Η απάντηση βρίσκεται στο γεγονός ότι στην μέτρηση περιλαμβάνουμε ανθρώπους σαν τον Ε και τον Ι που έχουν ασυνήθιστα μεγάλο αριθμό φίλων.Συνεπώς,μετριούνται πιο συχνά όταν κοιτάζουμε πόσους φίλους έχουν οι φίλοι των ανθρώπων και τότε συνεισφέρουν περισσότερο στο ολικό άθροισμα της τρίτης στήλης.Από την άλλη, όσοι έχουν λιγότερους φίλους εμφανίζονται πολύ πιο σπάνια, επομένως συνεισφέρουν λιγότερο. Η αλήθεια είναι ότι οι άνθρωποι τείνουν να προσαιτερίζονται ανθρώπους πιο δημοφιλείς από αυτούς.

Το φαινόμενο αυτό στρεβλώνει τον μέσο όρο προς μια υψηλότερη τιμή. Φανταστείτε μια εταιρεία με 8 υπάλληλους τον διευθυντή και τον προϊστάμενο με μισθούς 500 ευρώ οι υπάλληλοι και 2000,2500 ευρώ οι μισθοί των προϊσταμένου και του διευθυντή αντίστοιχα τότε ο μέσος μισθός εμφανίζεται να είναι 850 ευρώ!!

Στο παράδειγμα μπορείτε να δείτε και τι συμβαίνει στη τέταρτη στήλη του πίνακα έχει μέσο όρο 3,47 μεγαλύτερο από το μέσο όρο φίλων του δικτύου. Αν και η αλήθεια είναι ότι θα ήταν σωστότερο να πάρουμε το σταθμικό μέσο στην τρίτη στήλη να προσθέσουμε όλους τους αριθμούς και να διαιρέσουμε με το πλήθος τους. Πάλι όμως θα βγει μεγαλύτερος από τον μέσο όρο της δεύτερης στήλης. Δηλαδή ο μέσος όρος των φίλων των φίλων των μελών του δικτύου είναι πάντα μεγαλύτερος ή ίσος από τον μέσο όρο φίλων του δικτύου με την ισότητα να ισχύει μόνο αν το πλήθος των φίλων κάθε μέλους είναι το ίδιο.

Πως αποδεικνύεται;

Έστω ότι έχουμε ένα τυχαίο κοινωνικό δίκτυο που αποτελείται από ν ανθρώπους και ότι το πρόσωπο αi έχει χi φίλους

Τότε το μέσο πλήθος φίλων , λαμβάνοντας υπόψη όλα τα μέλη είναι

Α=(x1+x2+…+xv)/ν

Για να εξετάσουμε τώρα τον μέσο όρο των φίλων των φίλων κάθε μέλους ,δηλαδή το μέσο όρο της τρίτης στήλης κάνουμε το έξης: Έστω ότι ο αj είναι φίλος του αi τότε ο αj εμφανίζεται ως φίλος xj ανθρώπων –τους φίλους του- και στο συνολικό άθροισμα συνεισφέρει για καθένα από αυτούς xj δηλαδη συνολικά συνεισφέρει χj*xj=xj².Ο αριθμός των καταχωρήσεων στην τρίτη στήλη είναι x1+x2+…+xν.

Ο ζητούμενος μέσος όρος είναι

Β= (x1²+x2²+…+xv²)/( x1+x2+…+xv)

Σε κάθε περίπτωση ισχύει Β>Α εκτός από την περίπτωση που όλα τα xj είναι ισα μεταξυ τους.( Η απόδειξη με χρήση της ανισότητας Cauchy-Schwartz στο σύνδεσμο

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Root-Mean_Square-Arithmetic_Mean-Geometric_Mean-Harmonic_mean_Inequality))

Η παραπάνω ιδιαίτερη κατάσταση ονομάζεται Παράδοξο της φιλίας και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1991 από τον κοινωνιολόγο Scott L. Feld σε μια εργασία με τίτλο: «Γιατί οι φίλοι σου έχουν περισσότερους φίλους από σένα.»,“Why Your Friends Have More Friends Than You Do.”