«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 8 Ιουνίου 2018

Διαδοχικοί ΙΙ


5 σχόλια:

  1. Ας εξετάσουμε αρχικά το πλήθος των τρόπων με τους οποίους κάποιος θετικός ακέραιος ν παριστάνεται ως άθροισμα ΕΝΟΣ ή περισσότερων διαδοχικών ακεραίων, όχι αναγκαστικά όλων θετικών.

    Αν σε μια τέτοια παράσταση ο αριθμός των προστιθέμενων όρων είναι περιττός, έστω 2μ+1, τότε η παράσταση έχει έναν μεσαίο όρο, έστω τον α, και μ συμμετρικά ως προς τον α ζευγάρια ακέραιων όρων, με άθροισμα 2α το καθένα, οπότε ο ν γράφεται και ως:

    ν = α + μ*2α = α*(2μ+1), με α>0, μ≥0

    Αν πάλι ο αριθμός των προστιθέμενων όρων είναι άρτιος, έστω 2μ, τότε η παράσταση έχει ένα ζευγάρι διαδοχικών μεσαίων όρων, έστω τους α και α+1, με άθροισμα 2α+1, και μ-1 ακόμα ζευγάρια συμμετρικών, ως προς τον αριθμό α+1/2, ακέραιων όρων με άθροισμα επίσης 2α+1 το καθένα, οπότε ο ν γράφεται ως:

    ν = μ*(2α+1), με α≥0, μ>0

    Οι αριθμοί 2μ+1 και 2α+1 είναι περιττοί, επομένως και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις το πλήθος των παραστάσεων του ν ως αθροίσματος ενός ή περισσότερων διαδοχικών ακεραίων όχι αναγκαστικά όλων θετικών είναι ίσο με το πλήθος των περιττών διαιρετών του ν. Έτσι, το πλήθος των συνολικών δυνατών τέτοιων παραστάσεων του ν, περιττού ή άρτιου αριθμού όρων, είναι ίσο με το διπλάσιο των περιττών θετικών ακέραιων διαιρετών του ν.

    Ας θεωρήσουμε τώρα μια παράσταση του ν με όλους τους διαδοχικούς όρους θετικούς, μικρότερο από αυτούς τον χ και μεγαλύτερο τον ω, οπότε:

    ν = χ+(χ+1)+…+(ω-1)+ω

    Στην παράσταση αυτή μπορούμε να αυξήσουμε το πλήθος των διαδοχικών όρων προσθέτοντας μπροστά από τον θετικό χ τους όρους (1-χ)+…+0+...(χ-1) που έχουν άθροισμα 0, διατηρώντας έτσι τον ω ως τον μεγαλύτερο όρο και παίρνοντας μία νέα παράσταση του ν ως αθροίσματος διαδοχικών ακεραίων που τουλάχιστον ο μικρότερός του όρος 1-χ δεν είναι θετικός, δεδομένου ότι χ>0 και ακέραιος.

    Αντιστοίχως, αν ξεκινάμε από μια παράσταση του ν που ο μικρότερός της όρος, έστω ψ=1-χ, δεν είναι θετικός ενώ ο μεγαλύτερος όρος ω είναι (αναγκαστικά) θετικός, τότε μπορούμε από την παράσταση αυτή να απαλείψουμε όλους τους αρνητικούς όρους, τους αντίθετούς τους θετικούς και το 0, δηλαδή το άθροισμα (1-χ)+…0+...+(χ-1) =0, και έτσι να πάρουμε έτσι μία νέα παράσταση του ν ως αθροίσματος διαδοχικών ακεραίων με λιγότερους διαδοχικούς όρους, όλους θετικούς, έχοντας τώρα μικρότερο όρο τον θετικό ακέραιο χ και διατηρώντας τον ω ως το μεγαλύτερο όρο.

    Από τα παραπάνω συνάγεται ότι σε κάθε παράσταση του ν ως αθροίσματος διαδοχικών ακεραίων με όλους τους όρους θετικούς αντιστοιχεί μία ακριβώς παράσταση που δεν έχει όλους τους όρους θετικούς και το ανάποδο. Συνεπώς από το σύνολο των δυνατών παραστάσεων του ν ως αθροίσματος ενός ή περισσότερων διαδοχικών ακέραιων όρων, οι μισές ακριβώς έχουν όλους τους όρους θετικούς. Έτσι, καταλήγουμε ότι το πλήθος των διαφορετικών παραστάσεων του ν ως αθροίσματος θετικών διαδοχικών ακεραίων είναι ίσο ακριβώς με το πλήθος των περιττών θετικών ακέραιων διαιρετών του ν.

    Ο 105=3×5×7 έχει 8 θετικούς διαιρέτες (1,3,5,7,15,21,35,105), όλους περιττούς, συνεπώς εκφράζεται ως άθροισμα δύο ή περισσότερων διαδοχικών θετικών ακεραίων με 8-1=7 τρόπους (εξαιρούμε την περίπτωση που γράφεται ως 'άθροισμα' ενός μόνο, δηλαδή 105=105) και ως άθροισμα δύο ή περισσότερων ακεραίων εν γένει με 2*8-1=15 τρόπους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Εξαιρετικό πρόβλημα ΘΑΝΑΣΗ! Το είχα αντιμετωπίσει στο παρελθόν, αλλά με τον αριθμό 128 αντί του 105. Χρειάστηκα φυσικά την πιο πάνω ανάλυση, απλά για να δείξω ότι οι μόνοι εφικτό τρόποι ήταν ο 128=-127-126-..-2-1+0+1+2+..+126+127+128 και ο καταχρηστικός 128=128). Στην περίπτωση του 105 όμως το πρόβλημα είχε περισσότερο ψωμί😊.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Πηγή είναι το The inquisitive problem solver των Vaderlind,Guy,Larsen (MAA) ,ίσως ένα από τα καλύτερα βιβλία μαθηματικών διαγωνιστικών προβλημάτων

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Μια πιο απαιτητική επέκταση του προβλήματος είναι η απάντηση των ίδιων ερωτημάτων με τον αριθμό 30! (αντί του 105). Το μόνο που χρειάζεται πλέον είναι να βρούμε το πλήθος των περιττών διαιρετών του 30! (30 παραγοντικό). Μήπως κανένας εθελοντής;😉

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...