«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 30 Σεπτεμβρίου 2018

Γεωμετρικές πιθανότητες που παραπλανούν…..




Δίνονται δυο ομόκεντροι κύκλοι με την ακτίνα του ενός να είναι διπλάσια του άλλου.Να βρεθεί η πιθανότητα ένα σημείο  του μεγάλου κυκλικού δίσκου  να ανήκει και στον μικρό.

 
• Ο Τοτός- κολοσσός στα μαθηματικά και ιδίως στις πιθανότητες –όταν κλήθηκε να απαντήσει στο παραπάνω πρόβλημα είπε τα εξής:

  Αν P είναι ένα τυχαίο σημείο του μεγάλου κυκλικού δίσκου τότε σίγουρα θα ανήκει σε μια ακτίνα του ΟΑΒ όπου Α είναι το μέσο του ΟΑΒ. Η πιθανότητα το  P  να ανήκει  στο τμήμα ΟΑ (να ανήκει στον μικρό κυκλικό δίσκο) είναι 1/2,άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1/2 .     




Η Μαρία έδωσε διαφορετική λύση:

    Αν R είναι η ακτίνα του μεγάλου κύκλου και r η ακτίνα του μικρού κύκλου  και ισχύει  R=(1/2)r .Το εμβαδό Ε1 του μεγάλου κυκλικού δίσκου είναι :
 E1=πR^2=π(r/2)^2=(1/4)π(r^2)=(1/4)E2
με Ε2 το εμβαδό του μικρού κυκλικού δίσκου άρα η ζητούμενη πιθανότητα να επιλέξουμε ένα τυχαίο σημείο στον μεγάλο κυκλικό δίσκο και  να ανήκει και στον μικρό  είναι 1/4.
Ποιος έχει δίκιο και γιατί;



Δίκιο έχει η Μαρία,ο Τοτος έλυσε άλλο πρόβλημα με διαφορετικό δειγματικό
χώρο.Ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουμε ένα σημείο στο ευθύγραμμο
τμήμα ΑΒ και να απέχει από το Α απόσταση μεγαλύτερη από το μισό του ΑΒ.
             


16 σχόλια:

  1. Πολύ ωραίο το θέμα σου ΘΑΝΑΣΗ, αλλά αργείς να δώσεις γρίφο και κάνει πάρτι ο Κάρλο😋. Να προτείνω εγώ όμως κάτι πάνω στο θέμα;

    Αν διαλέξουμε δύο τυχαίους αριθμούς α και β στο διάστημα (0,1), ποια είναι η πιθανότητα οι αριθμοί α, β και 1 να είναι μήκη πλευρών αμβλυγωνίου τριγώνου;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ότι προλαβαίνω Θανάση, φέτος είναι δύσκολη χρονιά από άποψη προγράμματος.Οσοι πιστοί ας προσέλθουν

      Διαγραφή
    2. Μάνο, συχνά έχω ένα 'γιατί;' όταν διαβάζω απαντήσεις σου, αλλά τώρα θα περιοριστώ σε ένα όχι😊.

      Διαγραφή
    3. Μάνο, το π/2-1 = 0,57.. είναι μεγαλύτερο από 0,5, αλλά η πιθανότητα να σχηματίζεται τρίγωνο γενικώς, όχι υποχρεωτικά αμβλυγώνιο, είναι 0,5, οπότε αν το θέλουμε και αμβλυγώνιο πάμε ακόμα χαμηλότερα.
      Θα μπορούσα ίσως να πω περισσότερα αν έγραφες συνοπτικά το σκεπτικό σου.

      Διαγραφή
    4. Η απάντηση ήταν με δεδομένο ότι σχηματίζεται τρίγωνο
      Άρα το μισό δηλαδή (π-2)/4

      Διαγραφή
    5. https://app.box.com/s/jzhsz1wjol5yl1w3y2boapfuj2ocibxs

      Διαγραφή
  2. Θανάση, στο δθκό μου πάρτι, όμως, δεν συμμετέχει κανένας από την παρέα :) :). Βλέπε:
    http://papaveri48.blogspot.com/

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Tα ιστολόγια κ. Carlo υπάρχουν χάρη σε μας, δεν υπάρχουμε για χάρη των ιστολογίων. Όποιος θέλει συμμετέχει στο ένα ή στο άλλο «πάρτι» στο δικο χωροχρόνο :) :)

      Διαγραφή
  3. Κάρλο, εγώ βλέπω ότι οι προτάσεις σου για τον γρίφο της ημέρας (omathimatikos) προσελκύουν το καθημερινό ενδιαφέρον πολλών σοβαρών λυτών. Τέτοιες δόξες μπορώ να θυμηθώ μόνο παλιά κάποια περίοδο στο eisatopon (με τις αναρτήσεις Ριζόπουλου κ.ά).Μη μεμψιμοιρείς λοιπόν..
    ΘΑΝΑΣΗ, συμφωνώ και επαυξάνω. Και θα έβαζα, μαζί με το χωροχρόνο, και τις όποιες δυνατότητες ή τα γούστα των λυτών..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Θανάση, δεν αντιλέγω σε όσα γράφεις, αλλά στη δική μου ιστοσελίδα δεν την επισκέπτεται σχεδόν κανείς. Είναι ζήτημα μέσα σ' ένα μήνα να την επισκεφθούν το πολύ δύο άτομα (!!) και να λύσουν το γρίφο.
    :) :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Δίνω μια πιθανή κατεύθυνση:
    Για να σχηματιστεί αμβλυγώνιο τρίγωνο με πλευρές α,β,1, οι συνθήκες είναι δύο και πρέπει να συντρέχουν σωρευτικά:
    1. να σχηματιστεί τρίγωνο οποιουδήποτε είδους και
    2. το τρίγωνο να είναι αμβλυγώνιο.
    Ξέροντας ότι το μεγαλύτερο από τα τρία μήκη είναι το 1, η μαθηματική έκφραση των δύο συνθηκών είναι απλή. Αρκεί πλέον να τις μεταφέρουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

      Διαγραφή
    2. Ο τόπος των δυνατών ζευγαριών (α,β) είναι ολόκληρο το τετράγωνο ΟΓΒΑ εμβαδού 1. Σωστός λοιπόν ο αριθμητής π/4-1/2, αλλά ο παρονομαστής είναι 1 και όχι 1/2.

      Διαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...