Το φιδάκι και μια Μαρκοβιανή αλυσίδα

                    

Game of Snakes and Ladders, gouache on cloth (India,19th century)

     

  Με βάση ένα αρχαίο Iνδικό παιχνίδι,το γνωστό επιτραπέζιο παιχνίδι Φιδάκι είναι πολύ δημοφιλές στις μικρές ηλικίες.Οι κανόνες γνωστοί.Ως παίκτης προχωράτε με την ρίψη ενός ζαριού από το τετράγωνο 1 έως το τετράγωνο 100 ,σε ορισμένα τετράγωνα έχει φίδια και σκάλες.Η άφιξη σε ένα φίδι  θα σας στείλει πίσω σε μια παλαιότερη θέση καθώς η άφιξη σε μια σκάλα θα σας στείλει μπροστά σε μια μεταγενέστερη.
 
    Το 1993, ο μαθηματικός του Πανεπιστημίου του Michigan, S.C.Althoen, και οι συνεργάτες του θεώρησαν το παιχνίδι ως μια αλυσίδα Markov 101 θέσεων. Οι Μαρκοβιανές αλυσίδες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μοντελοποιήσουν πολλά τυχερά παιχνίδια.Σε κάθε γύρο, ο παίκτης ξεκινά σε μια δεδομένη κατάσταση (σε ένα δεδομένο τετράγωνο) και από εκεί έχει καθορισμένες πιθανότητες να μετακινηθεί σε συγκεκριμένες άλλες καταστάσεις (τετράγωνα).Το ελάχιστο δυνατό  παιχνίδι διαρκεί επτά κινήσεις,το μεγαλύτερο είναι απεριόριστο και σύμφωνα με τους υπολογισμούς του Althoen έχει αναμενόμενο αριθμό κινήσεων: 

 περίπου 39,2.

  O Althoen συμπέρανε ότι η μέση διάρκεια ενός παιχνιδιού χωρίς φίδια ή σκάλες (ακριβώς το 100^o  τετράγωνο) είναι σχεδόν 33 κινήσεις:«Προφανώς τα φίδια επιμηκύνουν το παιχνίδι περισσότερο από ό,τι οι σκάλες το συντομεύουν». Και, αν προσθέσετε μια σκάλα, θα μειωθεί γενικά το παιχνίδι και η προσθήκη ενός φιδιού θα το επιμηκύνει, αυτό δεν συμβαίνει πάντα.

  Στο αρχικό παιχνίδι, η προσθήκη μιας σκάλας από το τετράγωνο 79 στο τετράγωνο 81 επιμηκύνει τον αναμενόμενο χρόνο παιχνιδιού με περισσότερες από δύο κινήσεις (περίπου 41,9), δεδομένου ότι αυξάνει την πιθανότητα να λείπει η σημαντική σκάλα που οδηγεί από το τετράγωνο 80 στο τετράγωνο 100.Και προσθέτοντας ένα φίδι από το τετράγωνο 29 στο τετράγωνο 27 συντομεύει το παιχνίδι περισσότερο από μια κίνηση (περίπου 38.0), δεδομένου ότι προσφέρει μια δεύτερη ευκαιρία στη μεγάλη  σκάλα από 28 έως 84.
 
(S.C. Althoen, L. King, and K. Schilling, “How Long Is a Game of Snakes and Ladders?”, Mathematical Gazette 77:478 [March 1993], 71-76.)

Ένα σχετικό βίντεο που συνδέει το συγκεκριμένο παιχνίδι με την κατάταξη ιστοτόπων από την μηχανή αναζήτησης της google.