Επαγωγή στο κομμωτήριο.Το παράδοξο με το μαλλί!

  Η Νάντια έχει τελειώσει το μαθηματικό το 2010,σε καιρούς χαλεπούς.Διορισμοί δεν γίνονταν την εποχή εκείνη έτσι αποφάσισε να ανοίξει κομμωτήριο,καθώς από μικρή, μια έφεση σ'αυτήν την υψηλή τέχνη την είχε. Με την Νάντια είχα την εξής στιχομυθία:

-«Βαφές κάνεις;»

-«Ναι, προφανώς, γιατί ρωτάς»

-«Τι νόημα έχει;Εφόσον όλες οι γυναίκες έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιών, και μπορώ να σου το αποδείξω!!»

Μειδίασε.

-«Να σου πω.Ας πούμε ότι παίρνουμε ως δείγμα ένα τυχαίο σύνολο δέκα γυναικών.Είναι εφικτό να αποδείξουμε ότι και οι δέκα έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιών;»

-«Είναι εφικτό;» Τόνισε με ειρωνεία η Νάντια.

-«Θα μπορούσαμε να κάνουμε μια τέτοια απόδειξη, εάν ήταν δυνατό να αποδείξουμε ότι ένα οποιοδήποτε σύνολο εννέα  γυναικών έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιών .Θα απομονώναμε,λοιπόν, οποιεσδήποτε εννέα γυναίκες  από το σύνολο των δέκα και θα ξέραμε ότι έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιών.Επομένως και οι δέκα γυναίκες έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιών.»

-«Συνέχισε!» Είπε η Νάντια που φάνηκε να το διασκεδάζει.

-« Ωστόσο, υπάρχει κάποιος τρόπος να αποδείξουμε ότι ένα οποιαδήποτε σύνολο από εννέα γυναίκες έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιών; Ναι, εφόσον είναι δυνατό να αποδείξουμε  ότι οποιοδήποτε σύνολο οκτώ γυναικών  αποτελείται από γυναίκες με το ίδιο χρώμα μαλλιών. Αυτό μπορεί να αποδειχτεί  εάν αποδείξουμε ότι  ένα οποιαδήποτε σύνολο επτά γυναικών  αποτελείται από γυναίκες με μαλλιά ίδιου χρωματος.Και συνεχίζουμε έτσι μέχρι ότου φτάσουμε σε σύνολα αποτελούμενα από έξι, πέντε, τέσσερις, τρεις, δυο γυναίκες,και στο σύνολο που αποτελείται από μια γυναίκα.Όμως,σε ένα σύνολο που αποτελείται από μια μόνο γυναίκα  σίγουρα έχει το ίδιο χρώμα μαλλιών. Άρα αποδείξαμε ότι ένα οποιοδήποτε σύνολο δέκα γυναικών αποτελείται από γυναίκες με το ίδιο χρώμα μαλλιών .Θα μπορούσαμε να έχουμε ξεκινήσει από οπουδήποτε σύνολο γυναικών και να αποδείξουμε το ίδιο πράγμα. Άρα όλες οι γυναίκες έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιών.»

Η Νάντια γέλασε,λέγοντας:«Κοίτα έχω ξανθό μαλλί και η Μαρία η βοηθός μου είναι μελαχρινή,άρα κάτι πάει λάθος στη απόδειξη σου.»

Ποιο είναι το λάθος;  

  Μπορούμε όντως να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο αποτελούμενο  από οποιαδήποτε  εννέα γυναίκες  θα περιλαμβάνει γυναίκες με το ίδιο χρώμα μαλλιών,εφόσον αποδείξουμε  ότι εννέα από τα τις γυναίκες αυτού του συνόλου έχουν το ίδιο χρώμα μαλλιού. Αυτό  θα  είναι αληθές στις οκτώ,στις επτά,στις έξι ,στις πέντε, στις τέσσερις,στις τρεις γυναίκες.Όταν όμως φτάσουμε  στις δυο γυναίκες τίποτα δεν μας εγγυάται  ότι οποιαδήποτε δυο γυναίκες θα έχουν το ίδιο χρώμα στο..μαλλί!  

 H ανωτέρω ψευδοαπόδειξη-παράδοξο είναι σύνηθες παράδειγμα λανθασμένης χρήσης της τελείας επαγωγής σε πολλά βιβλία.Ξεχωρίζω το βιβλίο του Tom Apostol,΄"Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός",το εκτίμησα κάπως όψιμα καθώς αποτελεί βιβλίο αναφοράς και όχι ασκησιολόγιο με πυξίδα.

Περί μαθηματικής επαγωγής  http://mathhmagic.blogspot.com/2018/06/blog-post_5.html