Η κλήρωση

                      

                                                  

   Ένας καθηγητής αποφάσισε να κληρώσει ένα δώρο για τους 20 μαθητές της τάξης του. Ένα από τα παιδιά πρότεινε να πάρει 20 κομμάτια χαρτί, να σημαδέψει ένα από αυτά και μετά να μοιράσει ένα σε κάθε μαθητή αφού τα διπλώσει και τα ανακατέψει. Ο καθηγητής τους πρότεινε μια πιο απλή μέθοδο:

 «Θα σκεφτώ έναν αριθμό  από το 1 ως το 20  και θα το γράψω σε ένα χαρτί.Στην συνέχεια κάθε μαθητής θα πει έναν διαφορετικό αριθμό,ακολουθώντας την σειρά  με την οποία κάθεστε,ώσπου ένας από εσάς βρει τον αριθμό που έχω σκεφτεί».

 Ένας από τους μαθητές που καθόταν στο βάθος της αίθουσας, απάντησε ότι  δεν συμφωνούσε με αυτήν την μέθοδο, διότι θα είχε πολύ λίγες πιθανότητες, λιγότερες από τους πρώτους,να βρείτε τον αριθμό  και ότι το πιθανότερο  είναι ότι δεν θα είχε καν την ευκαιρία να πει  τον αριθμό  του  γιατί κάποιος  άλλος μαθητής  θα τον είχε ήδη μαντέψει  πριν από αυτόν.

Έχει αυτός ο μαθητής  δίκιο ή αντίθετα  ο καθηγητής πρότεινε μια δίκαιη κλήρωση;

 Η συλλογιστική του καθηγητή είναι απόλυτα σωστή,όλοι οι μαθητές  έχουν την ίδια πιθανότητα να βρουν τον αριθμό,η πιθανότητα είναι 1/20 για καθέναν τους. Πραγματικά για τον πρώτο μαθητή είναι προφανές ότι η πιθανότητα είναι 1/20, καθώς έχει 20 αριθμούς  να επιλέξει. Η πιθανότητα  για το δεύτερο μαθητή είναι (19/20)(1/19)=1/20, δεν τον βρίσκει ο πρώτος 19/20 και τον βρίσκει ο δεύτερος 1/19.Για τον τρίτο μαθητή είναι (19/20)(18/19)(1/18)=1/20 κ.ο.κ για τον τελευταίο.Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ναι μεν η πιθανότητα  είναι 1/20 για τον πρώτο και αν συνέβαινε αυτό που ισχυριζόταν ο μαθητής δηλ ότι οι πιθανότητες των υπολοίπων ήταν μικρότερες δεν θα έβγαινε άθροισμα πιθανοτήτων 1 ,γεγονός αδύνατο, καθώς είναι βέβαιο ότι πάντα θα υπάρχει ένας που θα βρει τον αριθμό.