Το τρίγωνο του Σερπίνσκι και το μηδενικό μέτρημα

   Ο Πολωνός μαθηματικός Βακλάου Σερπίνσκι (1882-1969),το 1915  ανακάλυψε ένα φράκταλ,που έκτοτε φέρει το όνομα του.Για την κατασκευή του τριγώνου του Σερπίνσκι ακολουθούμε τα εξής βήματα. Αρχικά παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του και αφαιρούμε το μεσαίο τρίγωνο που σχηματίζεται. Στη συνέχεια σε κάθε ένα από τα τρία τρίγωνα που σχηματίζονται κάνουμε το ίδιο και παίρνουμε το επόμενο σχήμα.Σε κάθε τρίγωνο τώρα επαναλαμβάνουμε  κ.ο.κ. (σχήμα)

Από κάθε τρίγωνο του Sierpinski  παράγονται  Μ=3 μικρότερα κατά κλίμακα  r =1/2 .

Ο λόγος  D=logM/log(1/r)  λέγεται διάσταση ομοιότητας του φράκταλ και στην περίπτωση μας είναι D=1,584.

  Ο Σερπίνσκι υπήρξε γοητευτική μαθηματική περσόνα,διαβάζουμε στο  βιβλίο των Τ. Κόνγουει,Ρ.Γκαι με τίτλο The book of Numbers(https://www.scribd.com/doc/68543894/J-H-Conway-R-K-Guy-The-Book-of-Numbers):

 Ο Βακλάου Σερπίνσκι,ο διακεκριμένος πολωνός μαθηματικός του εικοστού αιώνα ανησυχούσε ότι είχε χάσει μια βαλίτσα από τις αποσκευές του.«Όχι, χρυσέ μου!» είπε η γυναίκα του.«Και οι έξι βαλίτσες είναι εδώ».«Αυτό δεν μπορεί να είναι αλήθεια»,είπε ο Σερπίνσκι,«τα μέτρησα αρκετές φορές:μηδέν,ένα,δυο,τρία,τέσσερα, πέντε».

                                                

Αριθμοί   Σερπίνσκι

  Αριθμός Σερπίνσκι είναι ένας περιττός φυσικός αριθμός κ τέτοιος ώστε ο αριθμός  κ2^ν+1  δεν είναι πρώτος για κάθε φυσικό αριθμό ν. Το 1960, ο Βακλάου Σερπίνσκι απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί Σερπίνσκι.

Αριθμοί Sierpinski είναι οι: 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983,934909, 965431,1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ... (ακολουθία A076336 στον γνωστό ιστότοπο αναφοράς OEIS).

Εικασία Σερπίνσκι

   Το 1967,οι μαθηματικοί Σερπίνσκι και Σέλφριτζ έκαναν την εικασία ότι ο αριθμός 78557 είναι ο μικρότερος αριθμός Σερπίνσκι.Για να αποδειχθεί η εικασία, πρέπει να αποδειχτεί για κάθε αριθμό κ μικρότερο  του 78557 υπάρχει ένα τουλάχιστον ν τέτοιο ώστε ο αριθμός κ2^ν+1   να είναι πρώτος. Μέχρι τον Αύγουστο του 2017 υπήρχαν μόνο πέντε αριθμοί που δεν έχει αποδειχτεί αν είναι ή όχι αριθμοί Σερπίνσκι:

      κ = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019.

Το χαλί του Σερπίνσκι

   Φράκταλ που ανακαλύφθηκε από τον Σερπίνσκι ,το 1915.Αρχικα έχουμε ένα τετράγωνο, το χωρίζουμε σε 9 ίσα τετράγωνα και αφαιρούμε το μεσαίο τετράγωνο.

Απομένουν 8 τετράγωνα,επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία σε καθένα από τα εναπομείναντα τετράγωνα  κ.ο.κ.Το φράκταλ  που σχηματίζεται ονομάζεται χαλί του Σερπίνσκι και αποδεικνύεται ότι έχει κλασματική διάσταση  2ln3/ln2 .

 

Ένα βίντεο για το τρίγωνο Σερπίνσκι