Το κέρας του Γαβριήλ

     

  
                             "Το άπειρο υπάρχει για μας όπως η γλώσσα για τον κωφάλαλο."
                                                              
                                                                                          Οδυσσέας Ελύτης, 1911-1996

  Ο Ιταλός μαθηματικός E. Torricelli (1608-1647),το 1647 περιγράφει ένα αίνιγμα σύγκρισης επιφάνειας και όγκου, που ονομάζεται το παράδοξο του Torricelli. Το παράδοξο περιλαμβάνει ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα που σχετίζεται με το εμβαδόν του στερεού, που σχηματίζεται από την περιστροφή της καμπύλης  y = 1/x,1 <x  ή x=1 γύρω από τον άξονα x, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Αυτό το στερεό ονομάζεται κέρας του  Γαβριήλ  (το όνομα Γαβριήλ παραπέμπει στον Αρχάγγελο Γαβριήλ που φυσάει το κέρας του και αναγγέλλει την Ημέρα της Κρίσης). Το εμβαδόν αυτό μπορεί να βρεθεί προσθέτοντας τις  περιμέτρους όλων των κύκλων  του κέρατος και δεδομένου ότι  η περίμετρος ενός  κύκλου με ακτίνα r είναι L = 2πr και η ακτίνα του κύκλου στη θέση x είναι r = 1/x, η περίμετρος ενός κύκλου στο x είναι:   L(x)=2πr=2π(1/x)=2π/x

Επομένως, το εμβαδόν του  Κέρατος του  Γαβριήλ βρίσκεται  από το  ολοκλήρωμα:  

                                     

     

Tο εμβαδόν του στερεού  είναι άπειρo. Δηλαδή ότι το εμβαδόν αυξάνεται χωρίς κάποιο φράγμα καθώς προχωράμε  προς τα δεξιά όλο και περισσότερο, παρότι αυξάνεται πάρα πολύ αργά. Όταν ο Torricelli υπολόγισε το εμβαδό, αποφάσισε να βρει και  τον όγκο του. Αυτός ο όγκος μπορεί να βρεθεί προσθέτοντας τα εμβαδά όλων των  κύκλων του κέρατος. Το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα r είναι A =πr² και το r στη θέση x είναι  ίσο με 1/x, προκύπτει ότι:

                                                       

Συνεπώς, ο όγκος του Κέρατος του Γαβριήλ υπολογίζεται με χρήση ολοκληρώματος:

 

O όγκος του Κέρατος του  Γαβριήλ είναι π κυβικές μονάδες! Eχουμε περιστρέψει μια άπειρη περιοχή   γύρω από μια  γραμμή και πήραμε έναν πεπερασμένο όγκο. Οπότε μπορούμε να γεμίσουμε το κέρας με π = 3,14 κυβικές μονάδες χρώματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετή μπογιά στον  κόσμο για να χρωματίσουμε το εξωτερικό του! Το συμπέρασμα είναι ότι δεν είναι  έγκυρο να υποθέσουμε πως μπορούμε να εκτελέσουμε διαδικασίες μόνο και μόνο επειδή αυτές συσχετίζονται με πεπερασμένα μεγέθη! Για παράδειγμα, είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να  βάψουμε την επιφάνεια του κέρατος

διότι δεν  έχουμε αρκετή μπογιά. Όμως  είναι λάθος να  υποθέσουμε ότι μπορούμε να  γεμίσουμε το εσωτερικό του, μόνο και μόνο  επειδή υπάρχει όλη η  ποσότητα χρώματος  που απαιτείται. Η διαδικασία γεμίσματος δεν  μπορεί να γίνει σε  πεπερασμένο χρόνο  διότι διαφορετικά, θα μπορούσαμε να βάψουμε  και την  επιφάνεια σε  πεπερασμένο  χρόνο που βέβαια αυτό  είναι αδύνατο.

  Tο παράδοξο αρχίζει με το ερώτημα στην τρομπέτα του Τορικελι είναι δυνατόν να την βάψουμε με πεπερασμένη μπογιά παρότι έχει άπειρη επιφάνεια; Ο τορικελι αποδεικνύει ότι έχει πεπερασμένο όγκο το στέρεο, το γεμίζουμε με π λίτρα χρώμα και έχουμε βάψει την επιφάνεια! Το παράδοξο εδράζεται στο γεγονός ότι έχουμε ανακατέψει το φυσικό υλικό συμπάν με το μαθηματικό άπειρο… Εξηγούμαι, το άπειρο είναι μια καθαρά μαθηματική έννοια η οποία δεν μπορεί να "εφαρμοστεί" σε υλικά αντικείμενα. Από μαθηματικής πλευράς μπορώ να βάψω το σπίτι μου με μια σταγόνα χρώμα αρκεί να φροντίσω να κάνω την στρώση της μπογιάς απείρως λεπτή. Ειδικότερα αν έχουμε ένα κυβικό εκατοστό (ml) χρώμα και θέλουμε να βάψουμε μια τετράγωνη πλάκα x επί x εκατοστών ,όπου x όσο μεγάλο θέλουμε τότε η στρώση του χρώματος πρέπει να είναι 1/χ^2 εκατοστά .Αν η πλάκα είναι 10^9 cm τότε η στρώση του χρώματος είναι 1/10^18.Μαθηματικά είναι εφικτό, καθώς πάντα θα ισχύει για κάθε τιμή του χ χ^2*(1/χ^2)=1 ,όμως στο φυσικό κόσμο είναι αδύνατο. Δηλαδή με μια σταγόνα μπογιά από μαθηματική σκοπιά μπορούμε να βάψουμε μια απείρως μεγάλη επιφάνεια αρκεί να κάνουμε την στρώση της μπογιάς απείρως λεπτή φυσικώς αδύνατο αλλά και χρονικά προφανώς μη πεπερασμένο.