Διαγωνιστικά προβληματάκια με ποτήρια

  Δυο προβλήματα παραγγελιά με ποτήρια,ένα από την θεωρία αριθμών και ένα που λύνεται με την ιδιότητα του αναλλοίωτου.

1. Αναποδογυρίσματα  

 Τριανταπέντε πλαστικά ποτήρια έχουν τοποθετηθεί σε ένα τραπέζι με το στόμιο προς τα πάνω.Θεωρούμε ως μια κίνηση το ταυτόχρονο αναποδογύρισμα ακριβώς έξι ποτηριών.Υπάρχει ακολουθία κινήσεων που να έχει ως τελικό αποτέλεσμα  να έχουμε και τα τριανταπέντε ποτήρια με το στόμιο προς τα κάτω.(σχήμα) 

  

2.Αναποδογυρίσματα  ΙΙ 

Εικοσιέξι πλαστικά ποτήρια έχουν τοποθετηθεί σε ένα τραπέζι με το στόμιο προς τα πάνω. Ο Γιάννης αναποδογυρίζει τα ποτήρια από το πρώτο μέχρι το τελευταίο. Κατόπιν αναποδογυρίζει κάθε δεύτερο ποτήρι. Στην συνέχεια αναποδογυρίζει κάθε τρίτο ποτήρι κ.ο.κ  μέχρι το εικοστό έκτο .Όταν τελειώσει ο Γιάννης ποια ποτήρια (αύξοντας αριθμός 1^ο,2^ο,…) θα έχουν το στόμιο προς τα κάτω.

Απαντήσεις

1.  Είναι αδύνατο.Κάθε ποτήρι που καταλήγει με το στόμιο προς τα κάτω έχει υποστεί περιττό αριθμό από αναποδογυρίσματα ,από την άλλη  τα ποτήρια είναι συνολικά τριανταπέντε επίσης περιττός αριθμός  άρα συνολικά θα πρέπει να γίνουν  περιττός αριθμός αναποδογυρισματων.Απο την άλλη, κάθε φορά αναποδογυρίζουμε έξι ποτήρια άρα σε κάθε στάδιο θα έχουμε άρτιο αριθμό αναποδογυρισμάτων. Άτοπο. 

  Εν γένει, είναι αδύνατο αν έχουμε περιττού πλήθους ποτήρια και οι κινήσεις γίνονται ανά άρτιο πλήθος ποτηριών να μεταβούν από την κατάσταση που όλα είναι με το στόμιο στην ίδια κατεύθυνση στην κατάσταση όλα να αναποδογυρίσουν.

2.Όλα τα ποτήρια που έχουν αριθμό τέλειο τετράγωνο(1^ο ,4^ο ,9^ο ,16^ο,25^ο)  θα βρεθούν με το στόμιο προς τα κάτω.Ας το σκεφτούμε λίγο.Το ερώτημα είναι πόσες φορές αναποδογυρίζεται κάθε ποτήρι.

Το 1^ο  αναποδογυρίζεται μια φορά

Το 2^ο δυο φορές (την 1^η και την 2^η)

Το 3^ο δυο φορές (την 1^η και την 3^η)

Το 4^ο τρεις φορές (την 1^η,2^η και την 4^η)

……

Παρατηρούμε ότι κάθε φορά που αναποδογυρίζεται ένα ποτήρι πρόκειται για διαιρέτη του αριθμού π.χ οι διαιρέτες του 4 είναι 1,2,4

Το 18 θα αναποδογυριστεί την 1^η ,2^η,3^η,6^η,9^η,18^η φορά(1,2,3,6,9,18 διαιρέτες 18).Άρα το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση του πλήθους των διαιρετών κάθε αριθμού που θα είναι ταυτόχρονα και το πλήθος των αναποδογυρισματων του. Ειδικότερα μας ενδιαφέρει το πλήθος αυτό να είναι περιττός για να βρεθεί τελικά το ποτήρι με το στόμιο προς τα κάτω. Κάθε φυσικός αριθμός α έχει περιττό πλήθος διαιρετών αν είναι τέλειο τετράγωνο καθώς σε διαφορετική περίπτωση αν ο κ είναι διαιρέτης του αριθμού ο α/κ θα είναι διαφορετικός διαιρέτης του.