Α. Πρόκειται για τη σταθερά Champernowne, η οποία είναι αριθμός υπερβατικός, άρα άρρητος, οπότε δεν μπορεί να είναι περιοδικός. Αρκεί να σκεφτούμε τη σειρά ψηφίων που εκφράζεται από τον αριθμό 10^ν για αυθαίρετα μεγάλο ν. Η ίδια σειρά ψηφίων δεν εμφανίζεται πουθενά πιο μπροστά στην δεκαδική παράσταση του αριθμού.
Β. (Υποθέτω ότι 1000 και όχι 100 είναι ο αριθμός που ακολουθεί το 999) [1000/5]+[1000/25]+[1000/125]+[1000/625] = 200+40+8+1 = 249 Με [..] συμβολίζεται το ακέραιο μέρος του περιεχόμενου αριθμού.
Γ. (Δείχνω ότι υπάρχει ΕΝΑΣ ή άθροισμα περισσότερων που είναι πολλαπλάσιο του 100) Ας είναι α1, α2,...,α100 οι αριθμοί και Α1 = α1 Α2 = α1+α2 Α3 = α1+α2+α3 ................. Α100 = α1+α2+α3+....+α100 Αν ανάμεσα στους Α1, Α2,..., Α100 υπάρχει αριθμός ισότιμος 0mod100, τότε το ζητούμενο ισχύει χωρίς άλλο. Αν όχι, τότε θα υπάρχουν οπωσδήποτε δύο της ίδιας ισοτιμίας mod100 (περιστερώνας), οπότε η διαφορά τους θα είναι ισότιμη 0mod100. Σε κάθε περίπτωση ένας ή το άθροισμα περισσότερων του ενός από τους α1,α2,...,α100 είναι πολλαπλάσιο του 100.
Μια επεξήγηση για το πρόβλημα Γ: Αν είχαμε τους αριθμούς 100, 201, 301, 401, ..., 9801, 9901, 10001, τότε θα υπήρχε μεν ΕΝΑΣ αριθμός πολλαπλάσιος του 100 (ο 100), αλλά κανένα άθροισμα ΔΥΟ ή περισσότερων αριθμών πολλαπλάσιο του 100.
Α. Πρόκειται για τη σταθερά Champernowne, η οποία είναι αριθμός υπερβατικός, άρα άρρητος, οπότε δεν μπορεί να είναι περιοδικός. Αρκεί να σκεφτούμε τη σειρά ψηφίων που εκφράζεται από τον αριθμό 10^ν για αυθαίρετα μεγάλο ν. Η ίδια σειρά ψηφίων δεν εμφανίζεται πουθενά πιο μπροστά στην δεκαδική παράσταση του αριθμού.
ΑπάντησηΔιαγραφήΒ. (Υποθέτω ότι 1000 και όχι 100 είναι ο αριθμός που ακολουθεί το 999)
[1000/5]+[1000/25]+[1000/125]+[1000/625] = 200+40+8+1 = 249
Με [..] συμβολίζεται το ακέραιο μέρος του περιεχόμενου αριθμού.
Γ. (Δείχνω ότι υπάρχει ΕΝΑΣ ή άθροισμα περισσότερων που είναι πολλαπλάσιο του 100)
Ας είναι α1, α2,...,α100 οι αριθμοί και
Α1 = α1
Α2 = α1+α2
Α3 = α1+α2+α3
.................
Α100 = α1+α2+α3+....+α100
Αν ανάμεσα στους Α1, Α2,..., Α100 υπάρχει αριθμός ισότιμος 0mod100, τότε το ζητούμενο ισχύει χωρίς άλλο. Αν όχι, τότε θα υπάρχουν οπωσδήποτε δύο της ίδιας ισοτιμίας mod100 (περιστερώνας), οπότε η διαφορά τους θα είναι ισότιμη 0mod100.
Σε κάθε περίπτωση ένας ή το άθροισμα περισσότερων του ενός από τους α1,α2,...,α100 είναι πολλαπλάσιο του 100.
Μια επεξήγηση για το πρόβλημα Γ:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν είχαμε τους αριθμούς 100, 201, 301, 401, ..., 9801, 9901, 10001, τότε θα υπήρχε μεν ΕΝΑΣ αριθμός πολλαπλάσιος του 100 (ο 100), αλλά κανένα άθροισμα ΔΥΟ ή περισσότερων αριθμών πολλαπλάσιο του 100.