«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 6 Ιουνίου 2020

Πως δένουμε τα κορδόνια μας; Τοπολογικές ανησυχίες για δέσιμο!



   Με πόσους τρόπους μπορείτε να δέσετε τα κορδόνια των παπουτσιών σας; Αυτή η πολύ απλή ερώτηση της καθημερινής σας ρουτίνας  αποτελεί ένα ενδιαφέρον  τοπολογικό πείραμα και μπορεί να έχει ενδιαφέρουσες απαντήσεις.

  Υπάρχουν τρεις τρόποι να δέσετε τα κορδόνια σας.Ο αμερικανικός τρόπος (ζιγκ ζαγκ)  ο ευρωπαϊκός , και ο γρήγορος (αυτός που χρησιμοποιούν στα καταστήματα παπουτσιών), Θα πείτε ότι ο τρόπος με τον οποίο δένετε τα παπούτσι σας, έχει να κάνει κυρίως με τις παιδικές συνήθειες ,το αισθητικό αποτέλεσμα και φυσικά πόσο σφιχτά θέλετε τα κορδόνια σας.


Το μοτίβο δεσίματος των κορδονιών μπορεί είναι είτε απλό είτε πολύπλοκο  και να απαιτεί  διαφορετικό μήκος κορδονιών.Οι μαθηματικοί που ασχολούνται με την τοπολογία έχουν μελετήσει όλα αυτά τα στυλ δεσίματος και προσπαθούν να δουν το βέλτιστο χρησιμοποιώντας ποίκιλα κριτήρια.

  Ας πούμε για παράδειγμα ποιο είναι το στυλ δεσίματος των κορδονιών που απαιτεί το μικρότερο μήκος κορδονιού.Ο μαθηματικός John H. Halton  ασχολήθηκε με το πρόβλημα  αφού αντιλήφτηκε ότι πρόκειται για μια  ειδική περίπτωση  του προβλήματος του περιοδεύοντος πωλητή (ένα κλασσικό πρόβλημα  βελτιστοποίησης  που το ζητούμενο είναι η εύρεση της μικρότερης διαδρομής που πρέπει να κάνει ένας πωλητής  για να επισκεφτεί σε ένα δίκτυο πόλεων την καθεμία μια μόνο φορά)

  Το μήκος του κορδονιού που χρησιμοποιήθηκε  στον αμερικανικό τρόπο δεσίματος δεν απαιτεί παρά λίγη σχολική άλγεβρα και το πυθαγόρειο θεώρημα. Έστω ότι έχουμε ν ζεύγη τρυπών με απόσταση δ μεταξύ τους  και το κενό κ  ανάμεσα στις αριστερές και στις δεξιές τρύπες, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι απαιτεί μήκος Μ κορδονιού που δίνεται από τον τύπο:


 
Ομοίως και με χρήση  του ίδιου συμβολισμού μπορούμε να εξάγουμε για τους άλλους δυο τρόπους δεσίματος:      



 
  Το ζητούμενο  είναι να βρεθεί  αντίστοιχα  η συντομότερη διαδρομή από την πάνω -πάνω τρύπα  της μια πλευράς του παπουτσιού στην κάτω τρύπα της άλλης. Εφόσον γνωρίζουμε τους τύπους είναι υπολογιστικό πρόβλημα. Ο John H. Halton  γενίκευσε το πρόβλημα θεωρώντας στο επίπεδο δυο  κατακόρυφες στήλες σημεία  ,τόσα όσες και οι τρύπες του παπουτσιού.(Δείτε και την δημοσίευση http://www.cs.unc.edu/techreports/92-032.pdf) Το αποτέλεσμα ήταν, αν το πλήθος ν είναι τουλάχιστον 4 τότε  το ελάχιστο μήκος κορδονιού αντιστοιχεί  στον αμερικανικό τρόπο , κατόπιν ακολουθεί ο ευρωπαϊκός  και τέλος ο τρόπος των καταστημάτων. Για ν=3  ο αμερικανικός τρόπος απαιτεί πάλι το λιγότερο κορδόνι αλλά εναλλάσσουν θέσεις ο ευρωπαϊκός τρόπος και ο τρόπος των καταστημάτων.

Εύκολα το έβαζα με το κατάλληλο στήσιμο ως θέμα σε προαγωγικές Β γυμνασίου! 

 Περαιτέρω σύνδεσμοι

Δείτε και το βίντεο

                      υυ

Δείτε και ένα κατατοπιστικότατο βίντεο , που έφτιαξε ο φίλος του ιστολογίου NEW USER

                      

8 σχόλια:

  1. και Β ή Γ Λυκείου να το έβαζες πάλι μέσα θα ήσουν. Πολύ ενδιαφέρον άρθρο

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Θανάση θα σε ξενερώσω λίγο αλλά για μαθητές Α γυμνασίου που δεν γνωρίζουν το Π.Θ. υπάρχει και η "λύση" του geogebra

    https://www.youtube.com/watch?v=iIz5prjmkR8&feature=youtu.be

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. εννοείται οτι σου επιτρέπω.
    Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Θανάση, νομίζω πως ο Mathologer παρακολουθεί το site σου

    στις 20/6/2020 ανέβασε το κάτωθι
    https://www.youtube.com/watch?v=CSw3Wqoim5M

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Τώρα,πρέπει να προσέχουμε τι γράφουμε :) :),αν το είδε θα αναφώνησε "it's (all) Greek to me!" :) :)

      Διαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...