Benford's Law: Μπορούν οι άνθρωποι να διαλέξουν έναν πραγματικά τυχαίο αριθμό;

Σαν σήμερα, το 1883,γεννηθηκε Φρανκ Άλμπερτ Μπένφορντ Τζούνιορ.

Ο Φρανκ Άλμπερτ Μπένφορντ Τζούνιορ (1883, Τζόνσταουν, Πενσυλβάνια – 4 Δεκεμβρίου 1948) ήταν Αμερικανός ηλεκτρολόγος μηχανικός και φυσικός, γνωστός κυρίως επειδή ανακάλυψε εκ νέου και γενίκευσε τον Νόμο του Μπένφορντ, μια στατιστική αρχή που περιγράφει τη συχνότητα εμφάνισης των πρώτων ψηφίων σε σύνολα αριθμητικών δεδομένων.

Ο Μπένφορντ είναι επίσης γνωστός επειδή, το 1937, επινόησε ένα όργανο για τη μέτρηση του δείκτη διάθλασης του γυαλιού. Ως ειδικός στις οπτικές μετρήσεις, δημοσίευσε 109 επιστημονικές εργασίες στους τομείς της οπτικής και των μαθηματικών και κατοχύρωσε 20 διπλώματα ευρεσιτεχνίας για οπτικές συσκευές.

Η ημερομηνία γέννησής του αναφέρεται σε διάφορες πηγές είτε ως 29 Μαΐου είτε ως 10 Ιουλίου 1883. Μετά την αποφοίτησή του από το Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν το 1910, εργάστηκε στη General Electric: αρχικά επί 18 χρόνια στο Εργαστήριο Φωτιστικής Μηχανικής και στη συνέχεια επί 20 χρόνια στο Ερευνητικό Εργαστήριο της εταιρείας, έως τη συνταξιοδότησή του τον Ιούλιο του 1948. Πέθανε αιφνίδια στο σπίτι του στις 4 Δεκεμβρίου 1948.

Ποιος είναι ο νόμος του  Benford's Law;

Η  ιστοσελίδα www.arandomnumber.com, η οποία ζητά από κάθε επισκέπτη να επιλέξει έναν αριθμό από το 1 έως το 100, χωρίς καμία άλλη οδηγία. Ο δημιουργός της, Craig Lamb, συγκέντρωσε χιλιάδες απαντήσεις με σκοπό να ανακαλύψει αν οι άνθρωποι επιλέγουν πράγματι τυχαία.

Το συμπέρασμα ήταν μάλλον απρόσμενο: οι επιλογές τους κάθε άλλο παρά τυχαίες ήταν.

Οι πέντε δημοφιλέστεροι αριθμοί αποδείχθηκαν οι 5, 37, 7, 56 και 42. Ο αριθμός 5 εμφανίστηκε περίπου τρεις φορές συχνότερα από όσο θα αναμενόταν αν οι επιλογές ήταν πραγματικά τυχαίες. Ο Craig Lamb εικάζει ότι αυτό συμβαίνει επειδή το 5 βρίσκεται στο κέντρο τόσο της επάνω σειράς των αριθμητικών πλήκτρων όσο και του αριθμητικού πληκτρολογίου. Είναι ο πιο εμφανής και εύκολα προσβάσιμος αριθμός.

Οι αριθμοί 7 και 37 φαίνεται να προτιμώνται επειδή είναι πρώτοι αριθμοί, τους οποίους πολλοί άνθρωποι συνδέουν ασυνείδητα με την έννοια του «τυχαίου».

Η πιο ενδιαφέρουσα, ίσως, εξήγηση αφορά τον αριθμό 42. Σύμφωνα με τον Craig Lamb –και είναι μια εκδοχή που προσωπικά βρίσκω ιδιαίτερα γοητευτική– η δημοτικότητά του οφείλεται στο διάσημο μυθιστόρημα του Ντάγκλας Άνταμς Ο Γυρίστε τον Γαλαξία με Ωτοστόπ. Στο βιβλίο, ο υπερυπολογιστής Deep Thought, έπειτα από επτάμισι εκατομμύρια χρόνια υπολογισμών, δίνει την περίφημη «Ύψιστη Απάντηση στη Ζωή, το Σύμπαν και τα Πάντα»: 42.

Στον αντίποδα, οι πέντε λιγότερο δημοφιλείς αριθμοί ήταν οι 40, 91, 94, 70 και 90, τους οποίους επέλεξαν ελάχιστοι.

Το συμπέρασμα είναι προφανές. Όσο κι αν προσπαθούμε να διαλέξουμε έναν αριθμό στην τύχη, δύσκολα τα καταφέρνουμε. Οι επιλογές μας επηρεάζονται από ασυνείδητες προτιμήσεις, συνήθειες και πολιτισμικές αναφορές.

Αυτή είναι, άλλωστε, και η αχίλλειος πτέρνα πολλών τζογαδόρων. Πιστεύουν ότι στα τυχερά παιχνίδια υπάρχουν κρυμμένα μοτίβα, τα οποία μπορούν να ανακαλύψουν και έτσι να αυξήσουν τις πιθανότητες επιτυχίας τους. Θυμάμαι έναν γνωστό μου που πριν συμπληρώσει δελτίο Τζόκερ μελετούσε σχολαστικά τις συχνότητες εμφάνισης κάθε αριθμού. Παρά τον κόπο του, δεν κέρδισε ποτέ κάτι αξιόλογο.

Ωστόσο, δεν είναι μόνο οι αριθμοί που επιλέγουμε εμείς οι άνθρωποι που παρουσιάζουν τέτοιες ιδιαιτερότητες. Παρόμοια συμπεριφορά εμφανίζουν και πολλά πραγματικά σύνολα αριθμητικών δεδομένων.

Εδώ ακριβώς εμφανίζεται ο νόμος του Benford, γνωστός και ως νόμος του πρώτου ψηφίου. Κάποιος θα περίμενε ότι στα πραγματικά δεδομένα τα πρώτα ψηφία από το 1 έως το 9 θα εμφανίζονταν με την ίδια περίπου συχνότητα. Κι όμως, συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο.

Πρώτο ψηφίο Πιθανότητα εμφάνισης (%)

1 30,1

2 17,6

3 12,5

4 9,7

5 7,9

6 6,7

7 5,8

8 5,1

9 4,6

Με άλλα λόγια, περίπου τρεις στους δέκα αριθμούς αρχίζουν από 1, ενώ μόνο ένας στους είκοσι περίπου αρχίζει από 9.

Το φαινόμενο παρατήρησε πρώτος το 1881 ο Αμερικανός αστρονόμος Simon Newcomb. Εκείνη την εποχή δεν υπήρχαν ηλεκτρονικοί υπολογιστές ούτε αριθμομηχανές· οι περισσότεροι υπολογισμοί γίνονταν με λογαριθμικούς πίνακες και λογαριθμικό κανόνα. Ο Newcomb πρόσεξε ότι οι πρώτες σελίδες των λογαριθμικών πινάκων –εκείνες που αντιστοιχούσαν σε αριθμούς που αρχίζουν από 1– ήταν πολύ πιο φθαρμένες από τις τελευταίες.

Η παρατήρησή του ξεχάστηκε για αρκετές δεκαετίες, μέχρι που το 1938 ο Αμερικανός φυσικός Frank Benford συγκέντρωσε περισσότερα από 20.000 πραγματικά αριθμητικά δεδομένα από διαφορετικές πηγές και επιβεβαίωσε ότι το φαινόμενο εμφανίζεται ξανά και ξανά. Από τότε ο νόμος φέρει το όνομά του.

Η πιθανότητα να εμφανιστεί ως πρώτο ψηφίο ο αριθμός (v) δίνεται από τον τύπο:

P(v)=log₁₀(v+1)−log₁₀(v), όπου v = 1, 2, ..., 9.

Ο νόμος του Benford λειτουργεί καλύτερα όταν εξετάζονται μεγάλα σύνολα πραγματικών δεδομένων που εκτείνονται σε πολλές τάξεις μεγέθους.

Ο Clifford Pickover, στο βιβλίο του Passion for Mathematics, αναφέρει ότι η αμερικανική φορολογική υπηρεσία (IRS) αξιοποιεί τον νόμο του Benford για τον εντοπισμό οικονομικών απατών. Όταν κάποιος «μαγειρεύει» οικονομικά στοιχεία, έχει την τάση να κατανέμει ασυνείδητα τα πρώτα ψηφία σχεδόν ομοιόμορφα. Τα πραγματικά οικονομικά δεδομένα, όμως, δεν είναι ομοιόμορφα· ακολουθούν, σε μεγάλο βαθμό, τον νόμο του Benford. Έτσι, μια σημαντική απόκλιση από την αναμενόμενη κατανομή μπορεί να αποτελέσει ένδειξη ότι κάτι δεν πάει καλά και να οδηγήσει σε πιο λεπτομερή έλεγχο.