Προβλήματα από το πηγάδι με τους άσσους.

Διαγαλαξιακό πρόβλημα  θεωρίας αριθμών

   Ο Περικλής Πατομπούκαλος-εγνωσμένου κύρους αστρονόμος- έκανε μια σημαντική ανακάλυψη.Πίσω από τον Σείριο 1974 και ανατολικά  του Σειρίου 1975 εντόπισε ένα νέο γαλαξία  και σκοπεύει να του δώσει το όνομα του. Γαλαξίας Πατομπούκαλος (Φρίκη!!)

  • Ο Πατομπούκαλος για την προσφορά του στην επιστήμη των αστεριών  τιμήθηκε με το βραβείο Τζένη Αλικάκη και πιστώθηκε στον λογαριασμό του εξαψήφιο χρηματικό ποσό ευρώ ,τέτοιο ώστε,  το 1^ο ψηφίο είναι ίσο με το 4^ο ,το 2^ο με το 5^ο και το 3^ο με το 6^ο ψηφίο.Να αποδείξετε ότι αν θέλει  ο Πατομπούκαλος μπορεί να μοιράσει το ποσό εξίσου (σε ακέραια ποσά  ευρώ) είτε στα 7 παιδιά του,είτε στα 13 εγγόνια  του είτε  στις 11 γάτες του.

•Πόσα αστέρια αποτελούν το νέο Γαλαξία; Ο Πατομπούκαλος έγραψε στο ημερολόγιο του:

«…Πόσα είναι τα αστέρια; Είναι ένας πρώτος αριθμός από αποτελείται από διαδοχικά 1 και 0  αρχίζει και τελειώνει σε 1….Περίεργο…»

Ποιο είναι το πλήθος των αστεριών του Γαλαξία Πατομπούκαλου;

 

Μια λύση ΕΔΩ

 (Για την ιστορία,το  δεύτερο μέρος του προβλήματος  χωρίς την ευγενική συμμετοχή του Πατομπούκαλου πιστώνεται στον Πωλ Έρντος  και το αναφέρει ο A.Σοιφερ στο εξαιρετικό βιβλίο του με διαγωνιστικά προβλήματα  The Colorado Mathematical Olympiad

and Further Explorations.Όλα βέβαια ελέγχονται.Τα προβλήματα είναι σαν τα ανέκδοτα άπαξ και ειπωθούν όλοι ασχολούνται με το πρόβλημα και όχι με το δημιουργό του.)