Καλή χρονιά ΘΑΝΑΣΗ, με υγεία και γνώση! αβ+γδ = αγ-10βδ => γδ+10βδ = αγ-αβ => δ(γ+10β) = α(γ-β) (1) Από την (1) συνεπάγεται ότι ο α(γ-β) είναι θετικός ακέραιος πολλαπλάσιος του δ και εφόσον οι α,δ είναι αμοιβαία πρώτοι, θα πρέπει ο γ-β να είναι πολλαπλάσιος του δ. Έστω γ-β = λδ => γ = λδ+β (2), όπου λ θετικός ακέραιος. Αντικαθιστώντας το γ βάσει της (2), η (1) γίνεται: δ(λδ+β+10β) = α(λδ+β-β) => δ(λδ+11β) = αλδ => λδ+11β = αλ => 11β = λ(α-δ) => λ(α-δ)/β = 11 (3) Αν ο β είχε κοινό παράγοντα με τον λ, έστω τον κ, τότε βάσει της (2) ο κ θα ήταν παράγοντας και του γ, άτοπο αφού εξ ορισμού οι β,γ είναι αμοιβαία πρώτοι. Συνεπώς και οι β,λ είναι επίσης αμοιβαία πρώτοι, οπότε για να ισχύει η (3) πρέπει λ=1 ή λ=11. Για λ=1, η (2) δίνει γ=δ+β Για λ=11, η (3) δίνει α=β+δ Σε κάθε περίπτωση ισχύει το αποδεικτέο.
Καλή χρονιά ΘΑΝΑΣΗ, με υγεία και γνώση!
ΑπάντησηΔιαγραφήαβ+γδ = αγ-10βδ => γδ+10βδ = αγ-αβ => δ(γ+10β) = α(γ-β) (1)
Από την (1) συνεπάγεται ότι ο α(γ-β) είναι θετικός ακέραιος πολλαπλάσιος του δ και εφόσον οι α,δ είναι αμοιβαία πρώτοι, θα πρέπει ο γ-β να είναι πολλαπλάσιος του δ.
Έστω γ-β = λδ => γ = λδ+β (2), όπου λ θετικός ακέραιος. Αντικαθιστώντας το γ βάσει της (2), η (1) γίνεται:
δ(λδ+β+10β) = α(λδ+β-β) =>
δ(λδ+11β) = αλδ => λδ+11β = αλ =>
11β = λ(α-δ) => λ(α-δ)/β = 11 (3)
Αν ο β είχε κοινό παράγοντα με τον λ, έστω τον κ, τότε βάσει της (2) ο κ θα ήταν παράγοντας και του γ, άτοπο αφού εξ ορισμού οι β,γ είναι αμοιβαία πρώτοι. Συνεπώς και οι β,λ είναι επίσης αμοιβαία πρώτοι, οπότε για να ισχύει η (3) πρέπει λ=1 ή λ=11.
Για λ=1, η (2) δίνει γ=δ+β
Για λ=11, η (3) δίνει α=β+δ
Σε κάθε περίπτωση ισχύει το αποδεικτέο.
Καλή χρονιά θανάση,ναι ,ετσι είναι απο διαγωνισμό πόλεων
Διαγραφή