«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 25 Ιανουαρίου 2019

Aνά δυο πρώτοι




2 σχόλια:

  1. Καλή χρονιά ΘΑΝΑΣΗ, με υγεία και γνώση!
    αβ+γδ = αγ-10βδ => γδ+10βδ = αγ-αβ => δ(γ+10β) = α(γ-β) (1)
    Από την (1) συνεπάγεται ότι ο α(γ-β) είναι θετικός ακέραιος πολλαπλάσιος του δ και εφόσον οι α,δ είναι αμοιβαία πρώτοι, θα πρέπει ο γ-β να είναι πολλαπλάσιος του δ.
    Έστω γ-β = λδ => γ = λδ+β (2), όπου λ θετικός ακέραιος. Αντικαθιστώντας το γ βάσει της (2), η (1) γίνεται:
    δ(λδ+β+10β) = α(λδ+β-β) =>
    δ(λδ+11β) = αλδ => λδ+11β = αλ =>
    11β = λ(α-δ) => λ(α-δ)/β = 11 (3)
    Αν ο β είχε κοινό παράγοντα με τον λ, έστω τον κ, τότε βάσει της (2) ο κ θα ήταν παράγοντας και του γ, άτοπο αφού εξ ορισμού οι β,γ είναι αμοιβαία πρώτοι. Συνεπώς και οι β,λ είναι επίσης αμοιβαία πρώτοι, οπότε για να ισχύει η (3) πρέπει λ=1 ή λ=11.
    Για λ=1, η (2) δίνει γ=δ+β
    Για λ=11, η (3) δίνει α=β+δ
    Σε κάθε περίπτωση ισχύει το αποδεικτέο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...