Ωραίο
προβληματάκι από Καναδικό μαθηματικό διαγωνισμό ,το έβαλα στην
Β λυκείου στην ανάπτυξη εφαρμογών, να κατασκευάσουν αντίστοιχο πρόγραμμα και να
το τρέξουν για τους αρχικούς δέκα πρώτους αριθμούς ,βρήκαν ενδείξεις όμως τα
προβλήματα απαιτούν αποδείξεις!
Θα υποθέσω ότι ο αριθμός των μαθητών του σχολείου είναι τουλάχιστον διψήφιος, άρα θα είναι τετράγωνο ενός περιττού πρώτου μεγαλύτερου του 3, έστω του π. Έτσι, ο αριθμός των εκδρομέων είναι π^2+1 = (π^2-1)+2 = (π-1)(π+1)+2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι π-1 και π+1 είναι και οι δύο άρτιοι, άρα ο (π-1)(π+1) διαιρείται με το 4.
Οι αριθμοί π-1, π και π+1 είναι διαδοχικοί, άρα ένας ακριβώς από αυτούς διαιρείται με το 3. Αφού όμως ο π είναι πρώτος, τότε ένας από τους π-1, π+1 διαιρείται με το 3 και ο (π-1)(π+1) διαιρείται επίσης με το 3.
Έτσι ο (π-1)(π+1) διαιρείται με το 4 και το 3, άρα και με το 12, άρα ο (π-1)(π+1)+2 αφήνει υπόλοιπο 2 στη διαίρεση με το 12, άρα θα μείνουν 2 κενές θέσεις.
Σόρι, α περισσέψουν 12-2=10 θέσεις😊.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕγω σορι θαναση η εκφωνσησ έμπαζε , την αλλαξα
ΔιαγραφήΟΚ, δεν αλλάζει η ανάλυση, τώρα οι μαθητές είναι π^2-2 και οι επιβάτες π^2-1 =(π-1)(π+1), που για πρώτο π>3 είναι πολλαπλάσιο του 12, άρα δεν περισσεύουν θέσεις. Αν π=2, περισσεύουν 12-(2^2-1)=9 θέσεις και αν π=3 περισσεύουν 12-(3^2-1)=4 θέσεις.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι θαναση
Διαγραφή