Είναι ένα δύσκολο πρόβλημα…εύκολο ή πώς να κερδίσετε ένα εκατομμύριο δολάρια αποδεικνύοντας το προφανές.P=NP?

     Δεν μπορούσα να αποφασίσω.Ήταν ο καλύτερος ή ο χειρότερος μαθητής που είχα ποτέ;Είχε για κάθε λύση ένα πρόβλημα!

                                                                      Ανώνυμος μαθηματικός                                                                                                                     

    Εντάξει.Ίσως δεν είναι και τόσο προφανές.Ο τίτλος αναφέρεται σε ένα από τα  επικηρυγμένα προβλήματα του ινστιτούτου μαθηματικών Κλει (Clay mathematics Institute),όποιος κατορθώσει να  το αποδείξει θα φορτώσει το τραπεζικό του λογαριασμό με ένα εκατομμύριο δολάρια...Είναι γνωστό ως P=NP,το όποιο αν θέλετε την γνώμη μου είναι ηλίθιο όνομα όμως η ουσία του προβλήματος είναι πολύ σημαντική.Πόσο αποδοτικοί μπορούν να είναι οι υπολογιστές σε σχέση με το χρόνο που απαιτείται για να λυθεί ένα πρόβλημα.

Προβλήματα με πιθανότητες,κουτσαβάκηδες και παίγνια

Δυο προβλήματα από  τα απομνημονεύματα του αρχικουτσαβάκη Σταύρακα (PhD in Statistics)

Σε τι χρησιμεύουν τα μαθηματικά;

   

  Ο Γάλλος μαθηματικός Ανρί Πουανκαρέ στο βιβλίο του Αξία της επιστήμης (1869) απαντά σε ένα ερώτημα που σε όλους μας, κατά καιρούς έχει τεθεί:
«Χωρίς αμφιβολία θα σας έχουν ρωτήσει πολλές φορές σε τι χρησιμεύουν τα μαθηματικά κι αν αυτά τα εύθραυστα οικοδομήματα, τα γεννημένα αποκλειστικά από το μυαλό μας, δεν είναι παρά τεχνητές γέννες της ιδιοτροπίας μας.Μεταξύ των ατόμων που κάνουν αυτοί την ερώτηση είναι οι πρακτικοί άνθρωποι που ενδιαφέρονται μονάχα να μάθουν το μέσο για να βγάλουν χρήματα.

Γεωμετρίας εγκώμιο

   Απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Άλμπερτ Αϊνστάιν,το οποίο δείχνει μια άλλη,τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την χρησιμότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
   Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής,που είχαν μεγάλη επίδραση στη μετέπειτα επιστημονική του εξέλιξη,ο Αϊνστάιν σημειώνει:
«Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη,τελείως διαφορετική έκπληξη: σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης Γεωμετρίας …. Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί, όπως για παράδειγμα ότι τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο , οι οποίοι- αν και καθόλου προφανείς- μπορούν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα, ώστε να μη χωρεί η παραμικρή αμφιβολία. Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μιαν εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί. Το γεγονός ότι, τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε. Σε κάθε περίπτωση, μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσα να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις, η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη.»

Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης

            
                Τι με νοιάζει να αυξηθεί η βενζίνη, εγώ 20 ευρώ έβαζα,20 ευρώ θα βάζω...

   
  
   Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης,ένα από τα πλέον διάσημα παράδοξα πιθανοτήτων,είχε προταθεί αρχικά από τον Nicolaus Bernoulli (1678-1719) σε μια επιστολή με ημερομηνία Σεπτέμβριος του 1713.Το αρχικό πρόβλημα τροποποιήθηκε από τον Daniel Bernoulli, ανιψιό του Nicolaus και αναλύθηκε λεπτομερώς από τον ίδιο στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης.

 Το πρόβλημα έχει ως εξής:

Περί πνευματικών δικαιωμάτων

     O  Ισαάκ Ασίμοφ  λάτρευε τα ανέκδοτα και ήταν μοναδικός στην αφήγηση τους, συνήθιζε να κάνει πλάκα σχετικά με την μυστηριώδη προέλευση τους και την ταχύτατη διάδοση τους.Έλεγε ότι αποτελούσαν μέρος ενός πειράματος που πραγματοποίησε ένας εξωγήινος υπερ-νους,έγραψε μάλιστα και ένα διήγημα με τίτλο Jokester (ο χωρατατζής)

Ένα πρωτότυπο ερώτημα σε συνέντευξη για πρόσληψη....

   Κάπου στο διαδίκτυο πήρε το μάτι μου ένα ωραίο πρόβλημα συνέντευξης για πρόσληψη σε γνωστή εταιρεία κατασκευής λογισμικού.

 Δόθηκε το ερώτημα:

  Δίνεται ένα ρολό χαρτί υγείας με ύψος 10 cm , εσωτερική διάμετρο  βάσης 4 cm ( η διάμετρος του χάρτινου κυλίνδρου γύρω από τον οποίο είναι τυλιγμένο το χαρτί)  και εξωτερική διάμετρο βάσης  12 cm,το πάχος του χαρτιού  είναι 0,4 mm .Θεωρούμε ότι τα φύλλα είναι τυλιγμένα μεταξύ τους χωρίς  να αφήνουν ανάμεσα τους κανένα κενό. Να βρείτε το μήκος του χαρτιού. 

Μαθηματικά με υλικά κουζίνας:Θεώρημα σάντουιτς ζαμπόν-τυρί

    

   Αν έχουμε ένα σάντουιτς με ζαμπόν και τυρί,τότε,μπορούμε με μια μαχαιριά να το χωρίσουμε σε δυο κομμάτια που το καθένα να περιέχει ίση ποσότητα από ψωμί, ζαμπόν και τυρί αντίστοιχα.Στην βιβλιογραφία,φέρει το όνομα θεώρημα σάντουιτς ζαμπόν-τυρί (ham sandwich theorem).

Το φιδάκι και μια Μαρκοβιανή αλυσίδα

                    

Game of Snakes and Ladders, gouache on cloth (India,19th century)

     

  Με βάση ένα αρχαίο Iνδικό παιχνίδι,το γνωστό επιτραπέζιο παιχνίδι Φιδάκι είναι πολύ δημοφιλές στις μικρές ηλικίες.Οι κανόνες γνωστοί.Ως παίκτης προχωράτε με την ρίψη ενός ζαριού από το τετράγωνο 1 έως το τετράγωνο 100 ,σε ορισμένα τετράγωνα έχει φίδια και σκάλες.Η άφιξη σε ένα φίδι  θα σας στείλει πίσω σε μια παλαιότερη θέση καθώς η άφιξη σε μια σκάλα θα σας στείλει μπροστά σε μια μεταγενέστερη.